Determinantes

Matemática

DETERMINANTES
Introducción: Calculando el determinante de una matriz se puede determinar la cantidad de soluciones que tiene un sistema de ecuaciones lineales de igual número de ecuaciones que de incógnitas. Además, sirve para saber si una matriz tiene o no inversa (ya hablaremos de esto más tarde). Por ahora diremos que el determinante es un número asociado a una matriz cuadrada.Veamos cómo calcularlo, sus propiedades y algunas de sus múltiples utilidades. Notación: Notaremos det (A) ó A al determinante de la matriz A (no confundir con el módulo o valor  absoluto: el determinante es un número no necesariamente positivo) Determinantes de segundo orden: (para matrices de 2x2) Si A =  

a b   , det(A) = a.d – b.c  c d −1 2 = (-1).0 – 2.3 = 0 – 6 = -6 3 0Ejemplo:

Determinantes de tercer orden: (para matrices de 3x3) Regla de Sarrus:

a11 a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 =a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 – a13.a22.a31 – a23.a32.a11 – a33.a12.a21 a 33

Esto parece imposible de recordar pero no lo es tanto; veámoslo de otra forma: dada la matriz, construímos otra de 5x3, repitiendo nuevamente las 2 primeras, debajo de las tres filas.a11 a 21 a 31 a11 a 21

a12 a 22 a32 a12 a 22

a13 a 23 a 33 a13 a 23

Trazamos las diagonales de tres elementos como se indica abajo:

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El determinante es el producto de las rojas, sumadas entre sí, menos el producto de las azules también sumadas entre sí. Veamos un ejemplo:

1 2 3 Calculemos 4 5 6 7 8 9
Procedemos como antes:Det (A) = 1.5.9 + 4.8.3 + 7.2.6 – 3.5.7 – 6.8.1 – 9.2.4 = = 45 + 96 + 84 – 105 – 48 – 72 = 225 – 225 = 0

Determinantes de cualquier orden: (para matrices de nxn) Este método sirve para calcular determinantes de matrices de cualquier orden, por eso recomendamos su utilización. Definición: Dada cualquier matriz cuadrada, se llama cofactor de aij al determinante de la matriz que resulta desuprimirle a la original la fila i y la columna j multiplicado por (-1) elevado a la i más j. Lo notaremos Cij

 − 1 0 5   4 1 = 25 Por ejemplo: si A =  − 2 4 1  , C11 = (-1)1+1. 3 7  2 3 7  

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−2 1 2 7

C12 =

= (-1)1+2.(-16) = 16 y así sucesivamente

Método de Laplace: Dada una matriz, elegimos cualquier fila o columna de lamatriz y hacemos la siguiente operación:

a11 si A = a 21 a 31

a12 a 22 a 32

a13 a 23 , supongamos que elijo la segunda columna, el determinante de A es: a 33

Det (A) = a12 .C12 + a22 .C22 + a32 .C32 Veamos nuestro ejemplo:

1 2 3 Calculemos 4 5 6 7 8 9

Elijamos primero la tercera fila:

= 7.(-1)3+1.

2 3 5 6

+ 8.(-1)3+2

1 3 4 6

+ 9.(-1)3+3.

1 2 4 5

=

= (-1)4.7.(12 - 15) + (-1)5. 8 . (6 – 12) + (-1)6. 9. (5 – 8) = = 1. 7 . (-3) + (-1) . 8 . (-6) + 1 . 9 . (-3) = -21 + 48 – 27 = 0 Hagámoslo nuevamente: elijamos ahora la primera columna:

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5 6 8 9 2 3 8 9 2 3 5 6

= 1.(-1)1+1.

+ 4.(-1)2+1.

+ 7.(-1)3+1.

=

= (-1)2. 1.(45 - 48) + (-1)3. 4 . (18 – 24) + (-1)4. 7. (12 – 15) = = 1. 1 . (-3) + (-1). 4 . (-6) + 1 . 7 . (-3) = -3 + 24 – 21 = 0 Como verán, por cualquier método da lo mismo. Conviene tomar la fila o columna que tenga más cantidad de ceros porque si el coeficiente es cero nos ahorramos el cálculo de un determinante. No se olviden que si la matriz original tiene orden 5, tenemos que calcular 5 determinantes de orden 4 y, para cada uno de estos 4 de orden 3. Pero nos preocuparemospor esto más adelante cuando hablemos de las propiedades de los determinantes. Ejercicio 1: Calcular los siguientes determinantes:

i)

1

2

3 −4

6 ii) 3 5

5 1 2

1 0 3 iii) 0 1 4 2 1 0

−2 3 1 iv) 4 6 5 0 2 1

2 0 3 1
v)

0 1 4 2 0 0 1 5 1 2 3 0

 x  2 Ejercicio 2: Dada A =  x 3 

3 0  9 0  , hallar x ∈ R tal que A= 0.  3 1 

Propiedades de los...