DGB1 2 5

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Triángulo de Pascal
En matemáticas hay muchos trucos para simplificar los procedimientos y cálculos.
Para los productos notables el truco consiste en el triángulo de Pascal.

1
1

1

1
1

3

1
1
1

2

4
5

6

1
3

1

6
10

15

4

1

10
20

5
15

1
6

1

Para formarlo empezamos con el 1 del primer renglón. Después escribimos el segundo renglón:
1
1. Para obtener lossiguientes renglones siempre vamos a sumar los números que estén uno
al lado del otro.
Por ejemplo, para obtener el 2 que está en el tercer renglón sumamos 1+1 del segundo renglón.
Cada renglón n contiene los coeficientes del binomio elevado a la potencia n − 1.

( x + a )0

1

1

1

+

1

+

2

+

3

1
1

1

6
10

( x + a )2

1

3

4
5

( x + a )1

( x + a )3

1
4

10

( x + a )4

1
5

( x + a )51

Si observas el triángulo de Pascal, en el segundo renglón tenemos los coeficientes de ( x + a)1 =
a + b, que son 1 y 1. En el tercer renglón tenemos los coeficientes de ( x + a)2 = x2 + 2 a x + a2 ,
que son 1, 2 y 1, y así sucesivamente.
Una forma sencilla de encontrar los coeficientes del resultado de elevar el binomio ( x + a)n consiste en observar el segundo coeficiente. Si el coeficientees n, esos son los que buscas. Por ejemplo,
el renglón donde el segundo coeficiente 5 indica que son los coeficientes del resultado de elevar
( x + a )5 .
Calcular: ( x + a)5 =

Ejemplo 1

• Empezamos escribiendo los coeficientes que tomamos del renglón que corresponde.
Después escribimos la literal x junto a todos los coeficientes:
1x

5x

10 x

10 x

5x

1x

• Ahora vamos a escribir losexponentes de esas literales. Empezamos con el exponente al
cual estamos elevando el binomio, en este caso, 5, y conforme avanzamos a la derecha, los
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exponentes van disminuyendo, uno en cada literal:
1 x5

5 x4

10 x3

10 x2

5 x1

1 x0

• Ahora escribimos la otra literal, a junto a cada literal x:
1 x5 a

5 x4 a

10 x3 a

10 x2 a

5 x1 a1 x0 a

• El siguiente paso consiste en escribir los exponentes de a. Ahora empezamos de izquierda a
derecha, también empezando con el exponente al cual estamos elevando el binomio:
1 x 5 a0

5 x 4 a1

10 x3 a2

10 x2 a3

5 x 1 a4

1 x 0 a5

Observa que la suma de los exponentes de cada término es igual al exponente al cual estamos
elevando el binomio.
• Ahora lo único que falta es escribir lossignos de + entre los términos y simplificar usando
la ley (iv).
( x + a)5 = x5 + 5 x4 a1 + 10 x3 a2 + 10 x2 a3 + 5 x1 a4 + a5

Puedes verificar que este resultado es correcto multiplicando el binomio x + a por sí mismo cinco
veces.
Como ves, este método es muy directo. Solo se requiere escribir el triángulo de Pascal hasta el
renglón n + 1 para calcular ( x + a)n . Sin embargo, hay otro método máscorto, este método se
conoce como el Binomio de Newton.

Binomio de Newton
El binomio de Newton es otro artificio matemático que puede utilizarse para calcular la potencia
de un binomio.
En este caso se requieren algunos conceptos previos.
Definición
1

Factorial
El factorial del número natural n, que se denota n!, es igual al producto de todos los números naturales,
desde 1 hasta n.
n! = n (n −1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Una definición que se utiliza en el binomio de Newton, y que depende de la definición de factorial,
es la siguiente:

Definición
2

Combinaciones
El número de combinaciones de m objetos distintos, tomando k objetos a la vez, es:
m
k

=

m!
k! (m − k)!

En el binomio de Newton se consideran las combinaciones porque para justificar este método se
utiliza un método demultiplicación que se conoce como el exponente fijo, y este método consiste
en buscar de cuántas formas distintas podemos multiplicar los términos de dos polinomios para
obtener un exponente dado.
Ahora, la definición del binomio de Newton.
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Binomio de Newton
La potencia de un binomio puede calcularse con la siguiente fórmula:

( x + a)n...