Di Bartolo Vectores

Capítulo 1
Vectores

26 Problemas de selección - página 13
(soluciones en la página 99)
21 Problemas de desarrollo - página 22
(soluciones en la página 100)

11

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

Sección 1.A

Problemas de selección

1. La figura muestra cuatro vectores de la misma magnitud que se encuentran sobre dos rectas
paralelas. Se puede afirmar que:
A) A = D y A + C = 0.
B) Los cuatrovectores son diferentes.
B
C) Los cuatro vectores son iguales.

D
A

D) A + B = 0 y A = D.

C

E) C + D = 0 y C = B.

2. Los 7 vectores de la figura unen el centro de una circunferencia con algún punto de la misma.
La suma de los 7 vectores de la figura
A) es igual a −M

K

B) es igual a J + N

π
4

L

π
4

C) es igual a M
D) igual a 0
E) no es ninguna de las otras opciones.

C. Di Bartolo

M

π
4
N

π4

π
4

J

π
4

R

P

13

1 V ECTORES

3. Dados los vectores de la figura se cumple que
A) a + b + 2c + d = 0
B) b + 2c = d + a
C) d = a + b + c

a

b

D) d = a + b + 2c

d

c

E) b = 2c − d + a

c

4. La expresión en cartesianas del vector de la figura es
A) −2i + 3j
y
B) +3i − 2j
4
C) +3i + j
D) +2i − 3j
E) +3i + 4j

3
2
1
x
1

2

3

4

5. El vector a + b + c es
A) +3uˆ x + 3uˆ y
y
B) −2uˆ x +uˆ y
4
C) +2uˆ x − uˆ y
D) +2uˆ x + uˆ y
E) +uˆ x + 4uˆ y

14

3

c

2

a
b

1

x
1

2

3

4

C. Di Bartolo

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

6. Sean los vectores H = 5i + 2k y M = −4j + 3k, se cumple que 3H − 2M es igual a
A) 15i − 8j + 12k
B) 7i + 12k
C) 23i
D) 15i − 8j
E) ninguna de las opciones anteriores.

2a − b = −i − 2j + 2k ,
−a + b = +i + j .
Se cumple entonces que el módulo de a es igual a7. Los vectores a y b satisfacen las ecuaciones:

A) 5
B) 2
√
C) 3
D) 1
√
E) 5

8. El vector B de la figura tiene un módulo de 60 cm/s. Su expresión en la base cartesiana y en
unidades de m/s es
√
A) B = (−0.3 3 xˆ + 0.3 y)
ˆ m/s.

yˆ

√
ˆ m/s.
B) B = (−3000 3 xˆ + 3000 y)
√
ˆ m/s.
C) B = (−0.3 xˆ + 0.3 3 y)
√
ˆ m/s.
D) B = (−3000 xˆ + 3000 3 y)

150◦
B
xˆ

E) ninguna de las otras opciones.

C. DiBartolo

15

1 V ECTORES

9. Sea G un vector de módulo 4, de componentes positivas y tal que forma el mismo ángulo con
cada eje cartesiano (θx = θy = θz ). Se cumple entonces que
√
A) G = 2 2(uˆ x + uˆ y + uˆ z )
√
B) G = (4 3/3)(uˆ x + uˆ y + uˆ z )
C) G = (uˆ x + uˆ y + uˆ z )
D) G = (4/3)(uˆ x + uˆ y + uˆ z )
E) ninguna de las otras 4 opciones es cierta

10. El vector A tiene módulo 4, suscomponentes x e y son del mismo tamaño pero opuestas,
cumple con θz = 30◦ y 0 < θx < θy donde θx , θy , θz son los ángulos entre A y los semiejes
positivos x, y, z respectivamente. El vector A es igual a:
√
√
√
A) − 2uˆ x + 2uˆ y + 2 3uˆ z
√
√
B) 6uˆ x − 6uˆ y + 2uˆ z
√
C) 2uˆ x − 2uˆ y + 2 3uˆ z
√
√
√
D) 2uˆ x − 2uˆ y + 2 3uˆ z
√
√
E) −2 3uˆ x + 2 3uˆ y + 2uˆ z

11. Sea α el ángulo entre losvectores D = 3xˆ − 4zˆ y

N = xˆ + 2y.
ˆ Se cumple que

√
A) cos(α ) = −1/ 5
√
B) sen(α ) = 3/(5 5)
√
C) sen(α ) = −1/ 5
√
D) cos(α ) = 3/(5 5)
√
√
E) cos(α ) = 2 29/(5 5)

16

C. Di Bartolo

1.A P ROBLEMAS DE SELECCIÓN

12. Dos vectores tienen magnitudes 10 y 16 y el ángulo entre ellos es de 30◦ . Sea H la magnitud de
la proyección del vector más corto sobre la línea que es perpendicular al más largo yse encuentra
en el plano de los dos vectores. Entonces H es
A) 8.
B) 5.
C) 0.
√
D) 5 3.
√
E) 8 3.

13. Sea α el ángulo entre dos vectores R y P que satisfacen las relaciones | P + R |=
| P |=| R |. El cos(α ) vale

√

3|P |y

A) 1/3
B) -7/8
C) -1/2
D) 7/8
E) 1/2

14. Los vectores A y B de la figura forman dos lados de un triángulo equilátero de lado L. El
producto escalar de B con (A − B) vale
A)+3L2 /2
B) +L2 /2
C) −L2 /2

A

L

√
D) + 3L2 /2
√
E) − 3L2 /2

C. Di Bartolo

B

17

1 V ECTORES

15. Sean dos vectores A y B que satisfacen la relación C = |A| = |B| = 2|A − B|. El producto
escalar A · B es igual a
A) 7C2 /8.
B) 3C/4.
C) −7C2 /8.
D) C2 .
E) 3C2 /4.

16. Sean los vectores A = (a xˆ − 3a yˆ + 4 z)
ˆ y B = (−a xˆ + z).
ˆ Se cumple que
A) A y B son perpendiculares sólo si a =...