Diagonalizacion algebra lineal
Páginas: 8 (1766 palabras)
Publicado: 13 de noviembre de 2010
´ EJERCICIOS PROPUESTOS DE METODOS ´ MATEMATICOS I
˜ ECONOMIA Y LADE (MANANA Y TARDE) TEMA 3: An´lisis Est´tico o de Equilibrio (III): a a Diagonalizaci´n de matrices. Procesos secuenciales lineales. o
Ejercicio 1. Dadas las matrices siguientes: 4 1 1 1 2 0 a) 1 4 1 b) −1 4 0 1 1 4 −3 3 3 0 2 c) 0 0 1 1 0 0 5 9 6 8 0 3 1 −2 1 0 d) 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 5 1 2 4
1) Calculad los valores propios. 2) Determinad si son diagonalizables, y en caso afirmativo obtener la matriz de valores propios y la matriz diagonal. Ejercicio 2. Determinad para que valores de 5 0 0 −1 A= 3 0 k la matriz A es diagonalizable. 0 0 k
o a Ejercicio 3. Determinad, en funci´n de los valores del par´metro a, si la matrices siguientes son diagonalizables. Enlos casos afirmativos, determinad la matriz de vectores propios y la matriz diagonal. a 1 1 a) 1 a 0 0 0 a a 0 a b) 1 a + 1 −2 −1 −1 2 5 0 0 c) 0 −1 0 3 0 a
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Ejercicio 4. Para cada una de las siguientes matrices: 1 0 4 a) 0 2 0 2 0 −1 2 0 1 b) 0 2 −1 0 0 3 1 2 c) −1 3 0 0 0 1 0 0 1 −2 0 1 1 −2
ıg¨ 1) Aver´ uese si es diagonizable. 2)D´se la matriz de vectores propios y la matriz diagonal equivalente. e Ejercicio 5. Calculad el valor de los par´metros a, b y c para que la matriz A sea a diagonalizable, teniendo en cuenta que la matriz de vectores propios es la matriz B. a 1 1 1 −1 0 2 0 B= 1 0 1 A= b c −1 1 0 1 −1 − 1 a Ejercicio 6. Determinad los valores de los par´metros a, b y c para que las matricessiguientes sean diagonalizables. En los casos en los que sea posible obt´ngase la e matriz de vectores propios y la matriz diagonal. a b 0 −a −1 −a 0 a) 0 1 2 b) 1 0 0 0 2 0 1 a a c 0 a 1 0 c) 2b 0 2c d) 0 3 0 0 b −a b 0 1 e a Ejercicio 7. Estudiad para qu´ valores de los par´metros a y b la matriz A es diagonalizable. 5 0 0 A = 0 −1 a 3 0 b Ejercicio 8. Dada lamatriz a b 0 0 1 2 , 0 0 2 donde b = 0. Calculad los valores y vectores propios asociados. ¿Para qu´ valores e de a y b es diagonalizable ?
2
Ejercicio 9. Dada la matriz 2 0 3 0 : A= 0 0 −1 1 −2 C´lculese: a 1) An . 2) La matriz inversa de A. Ejercicio 10. Determinad la f´rmula de recurrencia que permita obtener la poo tencia n-´sima de la matriz A. e A= −7 −6 12 10
u eEjercicio 11. Calc´lese la potencia n-´sima de la matriz B. 1 1 −2 1 B = −1 2 0 1 −1 e Ejercicio 12. Sea A una matriz sim´trica tal que 2 8 1 5 A · 1 = 6 A · 1 = 4 . 0 4 0 2 Calc´lese la matriz A si el vector (2, 1, 2) es uno de sus vectores propios. u Ejercicio 13. Dada la matriz sim´trica A verificando: e 2 2 a) A · 0 = 0 . 0 2 b) v = (1, −1, 0) esun vector propio de A. c) det(A) = 0. Calculad la matriz A y la potencia A50 .
3
Ejercicio 14. Dada la matriz A= 1 a 2 b ,
calc´lense los valores de los par´metros a y b de forma que el vector (−2, 1) sea u a vector propio de A asociado a un cierto valor propio k. Ejercicio 15. Compru´bese si es diagonalizable la matriz e 1 0 0 0 1 −3 0 0 −2 y calc´lese 2A8 + 5I3 . u Ejercicio16. Constr´yase una matriz cuyos valores propios sean 1, −1 y 2, con u vectores propios asociados, respectivamente: (1, 0, −1), (−1, 1, 0) y (3, −3, 1)
e Ejercicio 17. Obt´ngase una matriz P que cumpla que P AP −1 sea una matriz diagonal, siendo A la matriz: 1 −1 8 1 1 1 2 0 3 ıa n Ejercicio 18. Estudios de sociolog´ laboral efectuados cada a˜o determinan que de los economistas existentesel primer a˜o del estudio (k = 0), el 70 % trabaja n para la administraci´n p´blica (x(0)) y el 30 % para la empresa privada (y(0)). o u Los mismos estudios realizados un a˜o despu´s han determinado que el 80 % de los n e economistas siguen en la misma actividad y el 20 % restante cambian de actividad, es decir que los que se dedicaban a trabajar en la administraci´n p´blica pasan a o u...
˜ ECONOMIA Y LADE (MANANA Y TARDE) TEMA 3: An´lisis Est´tico o de Equilibrio (III): a a Diagonalizaci´n de matrices. Procesos secuenciales lineales. o
Ejercicio 1. Dadas las matrices siguientes: 4 1 1 1 2 0 a) 1 4 1 b) −1 4 0 1 1 4 −3 3 3 0 2 c) 0 0 1 1 0 0 5 9 6 8 0 3 1 −2 1 0 d) 0 0 1 2 0 0 0 1 3 0 5 1 2 4
1) Calculad los valores propios. 2) Determinad si son diagonalizables, y en caso afirmativo obtener la matriz de valores propios y la matriz diagonal. Ejercicio 2. Determinad para que valores de 5 0 0 −1 A= 3 0 k la matriz A es diagonalizable. 0 0 k
o a Ejercicio 3. Determinad, en funci´n de los valores del par´metro a, si la matrices siguientes son diagonalizables. Enlos casos afirmativos, determinad la matriz de vectores propios y la matriz diagonal. a 1 1 a) 1 a 0 0 0 a a 0 a b) 1 a + 1 −2 −1 −1 2 5 0 0 c) 0 −1 0 3 0 a
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Ejercicio 4. Para cada una de las siguientes matrices: 1 0 4 a) 0 2 0 2 0 −1 2 0 1 b) 0 2 −1 0 0 3 1 2 c) −1 3 0 0 0 1 0 0 1 −2 0 1 1 −2
ıg¨ 1) Aver´ uese si es diagonizable. 2)D´se la matriz de vectores propios y la matriz diagonal equivalente. e Ejercicio 5. Calculad el valor de los par´metros a, b y c para que la matriz A sea a diagonalizable, teniendo en cuenta que la matriz de vectores propios es la matriz B. a 1 1 1 −1 0 2 0 B= 1 0 1 A= b c −1 1 0 1 −1 − 1 a Ejercicio 6. Determinad los valores de los par´metros a, b y c para que las matricessiguientes sean diagonalizables. En los casos en los que sea posible obt´ngase la e matriz de vectores propios y la matriz diagonal. a b 0 −a −1 −a 0 a) 0 1 2 b) 1 0 0 0 2 0 1 a a c 0 a 1 0 c) 2b 0 2c d) 0 3 0 0 b −a b 0 1 e a Ejercicio 7. Estudiad para qu´ valores de los par´metros a y b la matriz A es diagonalizable. 5 0 0 A = 0 −1 a 3 0 b Ejercicio 8. Dada lamatriz a b 0 0 1 2 , 0 0 2 donde b = 0. Calculad los valores y vectores propios asociados. ¿Para qu´ valores e de a y b es diagonalizable ?
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Ejercicio 9. Dada la matriz 2 0 3 0 : A= 0 0 −1 1 −2 C´lculese: a 1) An . 2) La matriz inversa de A. Ejercicio 10. Determinad la f´rmula de recurrencia que permita obtener la poo tencia n-´sima de la matriz A. e A= −7 −6 12 10
u eEjercicio 11. Calc´lese la potencia n-´sima de la matriz B. 1 1 −2 1 B = −1 2 0 1 −1 e Ejercicio 12. Sea A una matriz sim´trica tal que 2 8 1 5 A · 1 = 6 A · 1 = 4 . 0 4 0 2 Calc´lese la matriz A si el vector (2, 1, 2) es uno de sus vectores propios. u Ejercicio 13. Dada la matriz sim´trica A verificando: e 2 2 a) A · 0 = 0 . 0 2 b) v = (1, −1, 0) esun vector propio de A. c) det(A) = 0. Calculad la matriz A y la potencia A50 .
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Ejercicio 14. Dada la matriz A= 1 a 2 b ,
calc´lense los valores de los par´metros a y b de forma que el vector (−2, 1) sea u a vector propio de A asociado a un cierto valor propio k. Ejercicio 15. Compru´bese si es diagonalizable la matriz e 1 0 0 0 1 −3 0 0 −2 y calc´lese 2A8 + 5I3 . u Ejercicio16. Constr´yase una matriz cuyos valores propios sean 1, −1 y 2, con u vectores propios asociados, respectivamente: (1, 0, −1), (−1, 1, 0) y (3, −3, 1)
e Ejercicio 17. Obt´ngase una matriz P que cumpla que P AP −1 sea una matriz diagonal, siendo A la matriz: 1 −1 8 1 1 1 2 0 3 ıa n Ejercicio 18. Estudios de sociolog´ laboral efectuados cada a˜o determinan que de los economistas existentesel primer a˜o del estudio (k = 0), el 70 % trabaja n para la administraci´n p´blica (x(0)) y el 30 % para la empresa privada (y(0)). o u Los mismos estudios realizados un a˜o despu´s han determinado que el 80 % de los n e economistas siguen en la misma actividad y el 20 % restante cambian de actividad, es decir que los que se dedicaban a trabajar en la administraci´n p´blica pasan a o u...
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