Diferenciación De Distribuciones

Cap´ ıtulo 1 Convergencia en el espacio de distribuciones
1.1. Introducci´n o

En este cap´ ıtulo introducimos la noci´n de convergencia de una sucesi´n de o o distribuciones en D (Ω), y luego definimos la convergencia de las series de distribuciones. Muchas sucesiones que no convergen en el sentido cl´sico, tiea nen un l´ ımite en el sentido distribucional. Por otro lado, existen sucesiones dedistribuciones regulares que convergen en D (Ω), mientras que las sucesiones de funciones correspondientes no convergen en el sentido cl´sico. Tambi´n a e puede suceder que una sucesi´n pueda converger en el sentido cl´sico y en o a el sentido distribucional, pero los dos l´ ımites no coincidan. Algunas series divergentes pueden tener un significado en el sentido distribucional.

1.2.Convergencia de una sucesi´n de distrio buciones

El concepto de convergencia distribucional, tambi´n llamado convergencia e d´bil es el siguiente: e Definici´n 1.1. Una sucesi´n de distribuciones {fj }j∈N en D (Ω) se dice que o o converge a cero si y s´lo si, para cada φ ∈ D(Ω), la sucesi´n de n´meros o o u {(fj , φ)}j∈N converge a cero en el sentido ordinario. 1

Decimos que fj − − f en D (Ω) si lasucesi´n {fj − f }∞ converge a −→ o j=1
j→∞

cero en el sentido de la definici´n anterior. o Teorema 1.2. El espacio D (Ω) de distribuciones es completo. Demostraci´n. Sea {fj }j∈N una sucesi´n de Cauchy en D (Ω). Entonces o o por el Teorema ?? |(fj , φ)| ≤ C
|α|≤k

sup |Dα φ(x)| ,
x∈K

∀ φ ∈ DK (Ω),

(1.1)

para alg´n k ∈ N y alg´n C > 0. Dado que {(fj , φ)}∞ es una sucesi´n de u u oj=1 Cauchy de n´meros en C, tiene l´ u ımite. Sea f definida por (f, φ) = l´ (fj , φ), ım
j→∞

∀ φ ∈ D(Ω).

Mostremos que f ∈ D (Ω). f es lineal en D(Ω). Sean φ1 , φ2 ∈ D(Ω) y a, b ∈ C, entonces (f, aφ1 + bφ2 ) = l´ (fj , aφ1 + bφ2 ) = l´ (fj , aφ1 ) + l´ (fj , bφ2 ) ım ım ım
j→∞ j→∞ j→∞

= a l´ (fj , φ1 ) + b l´ (fj , φ2 ) = a(f, φ1 ) + b(f, φ2 ). ım ım
j→∞ j→∞

Ahora mostremos que fes continua. Sea φn una sucesi´n en D(Ω) que cono verge a cero. Entonces sup |Dα φn (x)| − − 0 sobre K y por (1.1) (f, φn ) = −→
x∈K j→∞ n→∞ n→∞

l´ (fj , φn ) − − 0. Por lo tanto, f es una distribuci´n en D (Ω). ım −→ o

Observaci´n 1.3. En vista del teorema anterior no es necesario conocer el o l´mite para decir que la sucesi´n {fj }j∈N converge en D (Ω). El l´mite de una ı o ı sucesi´n dedistribuciones es unico. o ´ Teorema 1.4. La operaci´n de paso al l´mite en el espacio D (Ω) es lineal. o ı Demostraci´n. Sean fn , gn ∈ D (Ω) tal que fn − − f y gn − − g. o −→ −→ Entonces, para todo φ ∈ D(Ω) y a, b ∈ C tenemos
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

l´ (afn + bgn , φ) = l´ {(afn , φ) + (bgn , φ)} ım ım = l´ {(fn , aφ) + (gn , bφ)} ım
n→∞

= a l´ (fn , φ) + b l´ (gn , φ) ım ım
n→∞ n→∞

= a (f,φ) + b (g, φ) = (af + bg, φ) 2

Es decir,
n→∞

l´ (afn + bgn ) = a l´ fn + b l´ gn ım ım ım
n→∞ n→∞

Cuando la sucesi´n de distribuciones {fj }j∈N es generada por funciones o localmente integrables, en general hay que distinguir entre la convergencia en el sentido cl´sico y convergencia distribucional, ya que si la sucesi´n converge a o en ambos sentidos, estos l´ ımites no necesariamenteson iguales, como puede verse en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.5. Sea fn (x) = einx , n ∈ N. Entonces, {fn (x)}n∈N converge a 1 en el sentido ordinario s´lo cuando x = 2kπ, k ∈ Z. o Pero converge a cero en el sentido distribucional. En efecto, sea φ ∈ D(R) entonces, integrando por partes con u = φ(x) y dv = einx dx tenemos
∞

(fn , φ) =
−∞

e 1 in

inx

φ(x)dx = φ(x)

einx in

∞1 − in −∞

∞

einx φ (x)dx
−∞

∞

=−

einx φ (x)dx − − 0. −→
−∞ n→∞

Se dice que una sucesi´n de funciones {fn }n∈N en Rn converge a la funci´n o o f casi en todas partes en Rn , si el conjunto en donde la sucesi´n {fn }n∈N o no converge tiene medida cero. En vez de escribir casi en todas partes solo pondremos c.t.p. El siguiente teorema caracteriza las sucesiones de funciones...