Diferencial vectorial

C´lculo Vectorial a
1. Vector de Posici´n o

− Dado un sistema de coordenadas OXY Z, entendemos por vector de posici´n de un o punto P del espacio en dicho sistema de coordenadas, un vector quesirve para definir la posici´n de dicho punto, cuyo origen coincide con el origen O de coordenadas y cuyo o extremo es el punto P . Lo designamos por r: r ≡ OP (1)

Figura 1: − Las componentescartesianas del vector de posici´n r se designan por (x, y, z) y reciben el o nombre de coordenadas cartesianas del punto P en el sistema de coordenadas OXY Z: r ≡ (x, y, z) = x i + y j + z k (2)

2.Campos escalares y campos vectoriales

− Dado un sistema de coordenadas OXY Z, decimos que tenemos un campo escalar (o funci´n escalar) V (x, y, z), si a cada punto del espacio (x, y, z) le podemosasignar un o escalar (n´ mero) V : u (x, y, z) → V = V (x, y, z) (3) − De forma similar, decimos que tenemos un campo vectorial (o funci´n vectorial) o A(x, y, z), si a cada punto del espacio le podemosasignar un vector A: (x, y, z) → A = A(x, y, z) 1 (4)

3.

Derivada parcial

− Dada una funci´n escalar V (x, y, z), definimos la derivada parcial de V respecto de o ∂V , como la derivada de Vrespecto a x, suponiendo las variables y, z la variable x, ∂x constantes. De forma similar, se define la derivada parcial de V respecto a la variable y, ∂V , como ∂y la derivada de V respecto a y,suponiendo las variables x, z constantes, y la derivada parcial respecto a la variable z, ∂V , como la derivada de V respecto a z, suponiendo las ∂z variables x, y constantes. Ejemplo: sea V = 2xy 2 z + xseny. Entonces: ∂V ∂x ∂V ∂y ∂V ∂z = 2y 2 z + seny = 4xyz + x cosy = 2xy 2

4.

Vector diferencial de r

− Sea un sistema de coordenadas OXY Z y un punto de vector de posici´n r. Entendemos o porvector diferencial de r en ese punto (dr), un vector de m´dulo infinitesimal (muy o peque˜ o) que permite pasar de dicho punto r a otro infinitesimalmente pr´ximo. n o

Figura 2: − Las componentes...