vectorial

UNIVERSIDAD DEL BIOBIO
Facultad de Ciencias
Departamento de Matem´ticas
a

LIMITES, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD
(C´lculo Infinitesimal en Rn )
a

(a)

lim

M

1. Demostrar lossiguientes l´
ımites por acotamiento:
x2 − y 2 + 2x − 4y = 10

(x,y)→(3,1)

(b)

lim

ez
a

Primer Semestre del 2011

xy + 3y = 0

(c)

3x2 − 4y 2 = −4

lim
(x,y)→(2,−2)

(d)

lim√

√
√
x−x y+y x=8

(x,y)→(4,9)

2. En los siguientes ejercicios probar que

lim
(x,y)→(0,0)

xy
x2 + y 2

f (x, y) existe:

An
dr
´s
e
G

(a) f (x, y) =

ar
fia
s(x,y)→(−3,2)

x3 + y 3
x2 + y 2
3x2 y
(c) f (x, y) = 2
x + y2
x2 y 2
(d) f (x, y) = 2
x + y2
(b) f (x, y) =

(e) f (x, y) =

1
1
(x + y) sin( y ) sin( x ) x = 0, y = 0
0
(x, y) = (0,0)

x2 y 2
demuestre que lim lim f (x, y) y lim lim f (x, y) existen,
x→0 y→0
y→0 x→0
x2 y 2 + (x − y)2
pero sin embargo lim f (x, y) no existe.

3. Para f (x, y) =

rg
e

(x,y)→(0,0)4. Resuelva:

(a) Demuestre que

Jo

(b) Demuestre que

lim

xy − x + 3y − 3 = 4

(x,y)→(1,2)

lim

(x,y)→(0,0) x2

xy
no existe. Justifique claramente.
+ y4

5. Calcular lossiguientes l´
ımites
(a)

x3 − y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
lim

x2 y 2 + 1 − 1
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
xy + 3x − y − 3
(c)
lim
(x,y)→(1,−3) (x − 1)2 + (y + 3)2

(b)

lim

6. Analizar lacontinuidad de las siguientes funciones:

(b) f (x, y, z) =

7. Sean f (x, y) =

0

, (x, y) = (0, 0)
, (x, y) = (0, 0)

xyz
x6 +|y|+z 2

x3 +y
x2 +y

0

+ x + y + z , (x, y, z) = (0,0, 0)
0
, (x, y, z) = (0, 0, 0)

, y = −x2
, y = −x2

y

C = {(x, y) ∈ R2 : y = −x2 }. Se pide:

ez
a

(a) f (x, y) =

M

x2 y
x2 +y 2

(a) Analice la continuidad de f en cadapunto de C
(b) Determine Du f (2, 3) donde u = [−3, 4]

ar
fia
s

(c) Hallar, si existen, fx (1, −1) y fy (1, 1)

x2 − y 2

xy 2
, (x, y) = (0, 0)
8. Sea f (x, y) =
. Se pide:
x + y2
...