Digui

Universidad Nacional Aut´noma de M´xico
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Geometr´ Anal´
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ıtica II
Ejercicios Extra de Espacios Vectoriales
1. Sean A un conjunto no vac´ y F = {f : A → R | f es funci´n}. Demostrar que F, junto con las
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o
operaciones de suma y producto definidas en clase (F , +, ·), forman un espacio vectorial sobre R.
2. Demostrar que, en cualquier espacio vectorial, el subconjunto de todas lascombinaciones lineales
de dos de sus elementos es un subespacio vectorial.
3. Demostrar que la intersecci´n de dos subespacios vetoriales W1 y W2 de un espacio vectorial V es
o
un subespaciovectorial de V . ¿Qu´ se puede decir de la uni´n?
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o
4. Sean V un R-espacio vectorial, S1 = {u1 , u2 , ..., un } y S2 = {u1 , u2 , ..., un , un+1 , ..., um }, donde
m ≥ n. Demostrar:
(a) Si S1genera a V , entonces S2 tambi´n genera a V .
e
(b) Si S2 es linealmente independiente, entonces S1 tambi´n es linealmente independiente.
e
5. Probar lo siguiente usando las propiedades de productointerior:
(a) | u · v |≤ u
(b)
(c) |

u+v ≤ u
u

−

v

v

Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

+

v

Desigualdad del tri´ngulo.
a

|≤ u − v .

6. Decir si los siguientes conjuntos enR2 son cerrados bajo la suma o el producto por escalares:
(a) A = {(x, y ) ∈ R2 | xy ≥ 0}

(b) B = {(x, y ) ∈ R2 | y = 3x}

(c) C = {(x, y ) ∈ R2 | y = 2x − 1}

(d) D = {(x, y ) ∈ R2 | y = 2x,x ≥ 0}

7. Si A = {(x, y ) ∈ R2 | x2 + (y + 1)2 = 1} y B = {(x, y ) ∈ R2 | y = 0} verificar si A, B , A ∩ B y A ∪ B
son subespacios vectoriales de R2 .
8. Decir si los siguientes subconjuntos de R2son linealmente independientes, generadores o bases de
R2 . Justificar respuesta.
(a) A = {(1, 4)},

(b) B = {(0, 0), (1, 0)},

(c)

C = {(1, 1), (−1, 1)}

(d) D = {(2, 1), (1, 2), (6, 6)}.9. Encontrar un vector de norma r en la direcci´n de v , para:
o
(a) r = 4, v = (3, −4),

5
(b) r = 2 , v = (1, 7),

(c) r =

√

2, v = (6, 8).

10. Encontrar la proyecci´n de u sobre...