dinamica II

DEBER – INVESTIGACION
JAIRO SEVERINO PAZMIÑO
GRUPO # 4462

CINEMÁTICA TRIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje o punto fijo, la distancia r del punto de una partícula localizada en un cuerpo es la misma en cualquier posición del cuerpo. Entonces la trayectoria de la partícula queda en la superficie de una esfera deradio r con su centro en un punto fijo.






Teorema de Euler
Este teorema nos dice que cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, toda posición del cuerpo se puede obtener a partir de cualquier otra posición mediante una sola rotación en torno a un cierto eje que pasa por dicho punto fijo.
Rotaciones finitas (no son vectores) Del teorema de Euler se deduce que elmovimiento durante un intervalo de tiempo ∆t de un cuerpo rígido que tenga un punto fijo puede considerarse que es una rotación ∆ en torno a un cierto eje.
Ejemplo:
Tomemos un libro y establezcamos un sistema de coordenadas como se ve en la figura. Sean =90 i y =90 j . La rotación + da como resultado lo siguiente:

En cambio la rotación + da como resultado lo siguiente:









Esevidente que las posiciones finales no coinciden y la suma de las rotaciones depende del orden en que se escriban lo que finalmente da como resultado:
+ +
Por lo tanto las rotaciones finitas no son vectores.
Rotaciones infinitesimales
Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque se pueden sumar vectorialmente de cualquier manera. Para demostrarlo, con el fin de simplificar,consideremos que el cuerpo rígido mismo sea una esfera a la cual se le permite girar con respecto a su punto central fijo O. Si se efectúan dos rotaciones infinitesimales d 1 + d 2 con el cuerpo, se ve que el punto P se mueve a lo largo de la trayectoria (d 1 + d 2) × r y termina estando en P’. Como el producto vectorial obedece a la ley distributiva, por comparación, (d 1 + d 2) × r = (d 2 + d 1) × r.Por lo tanto, las rotaciones infinitesimales d son vectores, porque esas cantidades tienen tanto magnitud como dirección, para las cuales el orden de la suma (vectorial) no es importante, es decir,  (d 1 + d 2) = (d 2 + d 1).







Velocidad angular
Si el cuerpo se somete a una rotación angular alrededor de un punto fijo, su velocidad angular está dada por:

La línea queespecifica la dirección de, la cual es colineal con , se conoce como eje de rotación instantáneo. Como y son cantidades vectoriales, su velocidad angular resultante es
Aceleración angular
La aceleración angular de un cuerpo eta dada por la derivada con respecto al tiempo de su velocidad angular.





Velocidad
Con especificada, la velocidad en cualquier punto en uncuerpo que gira alrededor de un punto fijo se determina por la siguiente ecuación:

Aceleración
Si en un instante dado y α son conocidas entonces a ecuación de la aceleración está definida por:



MOVIMIENTO GENERAL
En la figura se muestra un cuerpo sometida a movimiento general en tres dimanaciones, el cual tiene una velocidad angular y una aceleración angular . El punto A tiene unmovimiento y , el movimiento de cualquier otro punto B se halla por medio de un análisis de movimiento relativo (sistema de coordenadas trasladante).





Como el cuerpo es rígido, el movimiento del punto B medido por un observador localizado en A es por lo general el mismo que la rotación del cuerpo respecto de un punto fijo. Este movimiento relativo se define como:



Para ejestrasladantes, los movimientos relativos se relacionan con los movimientos absolutos, es decir:


La velocidad y aceleración absolutas respecto al punto B quedan determinadas por:


Tener presente que mide el cambio tanto de magnitud como de dirección de .


ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO POR MEDIO DE EJES TRASLADANTES Y ROTATORIOS
Una manera general de analizar un movimiento tridimensional...