Dinamica

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL EN COORDENADAS RECTÁNGULARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS: Del teorema de la divergencia, se tiene:V

r r r div( f ).dτ = ∫ f .dS ∫
S

y podemos escribir en forma diferencial para coordenadas generales q1, q2, q3:

r ∂ r r ∂ r r ∂ r r div( f ).dτ = ( f 1 .dS1 ).dq1 + ( f 2 .dS 2 ).dq 2 + ( f3 .dS 3 ).dq 3 ∂q1 ∂q 2 ∂q3

Expresión en coordenadas rectangulares o cartesianas: En estas coordenadas es: dSq1 = dy.dz , dSq2 = dx.dz, dSq3 = dxdy Y también es el elemento diferencial de volumendτ = dx.dy.dz Por tanto:

r ∂ ∂ ∂ div( f ).dτ = ( f 1 .dy.dz ).dx + ( f 2 .dxdz ).dy + ( f 3 .dxdy ).dz ⇒ ∂x ∂y ∂z r ∂f 3 ∂f 1 ∂f 2 1 1 1 ⇒ div( f ) = .dy.dz.dx + .dy.dz.dx + .dy.dz.dx = dx.dy.dz∂x1 dx.dy.dz ∂x 2 dx.dy.dz ∂x3 = ∂f1 ∂f 2 ∂f 3 + + ∂x1 ∂x 2 ∂x3 r ∂f ∂f ∂f div( f ) = 1 + 2 + 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x3

Expresión en coordenadas esféricas: En estas coordenadas es:

dSq1 = ρ 2 .senθ .dθ .dφ ,dSq2 = ρ.senθ .dρ.dφ , dSq3 = ρ.dρ.dθ
Y también es dτ = Por tanto:

ρ 2 .senθ .dρ.dθ .dφ

Octubre 2004, Para casanchi.com

LA DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

CARMEN SÁNCHEZ DÍEZ

r ∂ ∂ ∂div( f ).dτ = ( f1 .dS ρ ).dρ + ( f 2 .dSθ ).dθ + ( f 3 .dSφ ).dφ ⇒ ∂ρ ∂θ ∂φ r ∂ ( f1 .ρ 2 .senθ .dθ .dφ ) 1 .dρ + ⇒ div( f ) = 2 ∂ρ ρ .senθ .dρ .dθdφ ∂ ( f 2 .ρ .senθ .dρ .dφ ) 1 .dθ + + 2 ∂θ ρ.senθ .dρ .dθ .dφ ∂ ( f 3 .ρ .dρ .dθ ) 1 + 2 .dφ ∂φ ρ .senθ .dρ .dθ .dφ
O sea:

r ∂ ( f 2 .senθ .) 1 ∂ ( f 1 .ρ 2 ) 1 1 ∂( f 3 ) div( f ) = 2 + + ∂ρ ρ .senθ . ∂θ ρ .senθ ∂φ ρ

Expresión en coordenadascilíndricas: En estas coordenadas es:

dSq1 = ρ.dφ.dh dSq2 = dρ.dh dSq3 = ρ.dρ.dφ
Y también es dτ = Por tanto:

ρ.dρ.dφ.dh

r ∂ ∂ ∂ div( f ).dτ = ( f1 .dS ρ ).dρ + ( f 2 .dS φ ).dφ + ( f 3 .dSh ).dh ⇒ ∂ρ ∂φ ∂h r ∂ ( f 1 ρ .dφ .dh) 1 ⇒ div( f ) = .dρ + ρ .dρ .dφ .dh ∂ρ ∂ ( f 2 .dρ .dh) 1 + .dφ + ρ .dρ .dφ .dh ∂φ ∂ ( f 3 .ρ .dρ .dφ ) 1 + .dh ρ ..dρ ..dφ .dh ∂h
Finalmente:

r 1 ∂ (...