Distribución Discreta De Probabilidades

MODELO BIPUNTUAL

Se aplica a una variable que sólo puede asumir dos valores: 0 y 1.
Consideremos un experimento que puede presentar sólo dos resultados, que podríamos llamar Éxito y Fracaso, y una variable a la cual le asignaremos valores 0 y 1 según resulte Éxito o Fracaso respectivamente.
Es decir = {E , F}


Entonces, definimos la variable aleatoria X como presencia oausencia de cierta característica. Es decir:
= F X() = X(F) = 0 ausencia de la característica
= E X() = X(E) = 1 presencia de la característica

Sea p la probabilidad conocida de que se presente la característica (es decir, la proporción poblacional).
[pic]

| |Xi |p(xi) |
|F |0 |q |
|E |1 |p |La distribución de probabilidad bipuntual se expresa y grafica de la siguiente manera:
[pic]
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El único parámetro de esta distribución es p = P(E), simbólicamente escribimos X ~ Bi(p) , y leemos X se distribuye Bernoulli con parámetro "p"
La función de distribución acumulada F(x) = P( X ( x ) se expresa y gráfica de la siguiente forma:
[pic]

Lascaracterísticas de posición y dispersión son su esperanza y variancia:
[pic]

MODELO BINOMIAL

Consideremos una serie de pruebas Bernoulli repetidas en forma independiente, donde sólo interesa la cantidad de veces que ocurre éxito. Por lo tanto, el experimento debe cumplir con las siguientes tres condiciones:

1. Debe haber un número fijo de pruebas repetidas e independientes.2. Cada prueba debe ser dicotómica, es decir, debe resultar en éxito o fracaso
3. La probabilidad de éxito debe ser conocida y constante para todas las pruebas, P(E)=p.

Simbolizamos con n a la cantidad de veces que se repite el experimento. La variable la simbolizamos con X y se define como X: cantidad de éxitos ocurridos en la n repeticiones del experimento.
Simbolizando conRx al recorrido (o campo de variación) de la variable, tenemos que:
Rx = { 0 , 1 , 2 , ... , n }

Supongamos una serie de n repeticiones de pruebas Bernoulli, en la que los éxitos y fracasos resultaron: [pic]

La probabilidad de que el resultado de las n repeticiones sea esta secuencia es:
[pic]

Donde P (E) = p y P (F) = q

Esta secuencia que hemosconsiderado es una de aquellas en las que aparece k veces éxito. Pero no estamos interesados en una secuencia particular de éxitos y fracasos, sino en la cantidad de éxitos, no importando el orden. La probabilidad de cualquier secuencia de n repeticiones que contenga k éxitos tiene la misma probabilidad de acontecer que la que hemos presentado. La probabilidad de que ocurran exactamente kéxitos (y el resto fracasos), es igual a la suma de las probabilidades de las distintas secuencias que son posibles de obtener permutando los n resultados de las pruebas Bernoulli (siempre manteniendo fija la cantidad de éxitos X=k).


La cantidad de secuencias diferentes está dado por el número de permutaciones de n elementos cuando entre ellos hay k semejantes entre sí, y los restantesn-k también son semejantes entre sí. Luego, existen [pic] secuencias diferentes con k éxitos, todas ellas con la misma probabilidad de ocurrir. Por lo tanto, la probabilidad de obtener k éxitos (en cualquier orden) es igual a la probabilidad de una secuencia en particular multiplicada por este número combinatorio. Así:
[pic]

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La función de cuantía de la variable binomial seexpresa y se grafica de la siguiente forma:
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y la función de distribución acumulada se expresa y se grafica de la siguiente forma :
[pic]



Los parámetros de esta distribución son n y p, y simbólicamente escribimos
X ~ B(n,p) y leemos X se distribuye binomial con parámetros "n" y "p".

La esperanza y la variancia son:
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Otra forma de...