Divergencia

ENUNCIADO DEL TEOREMA Sea E una regin simple slida cuya superficie frontera S tiene una orientacin positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a E. Entonces INCRUSTAR Equation.3 Recordar que otra notacin para div F es (F PROBLEMAS RESUELTOS 1) Evaluar el flujo del campo vectorial F(xyz)xyi (y2 INCRUSTAR Equation.3 )j sen(xy)k a travs de la superficie frontera de la regin E acotada por el cilindro parablico z1x2 y los planos z 0, y 0, y z 2. Solucin El problema invita a la transformacin de la integral de flujo en algn otro tipo de integral para evitar las complejidades que surgiran de parametrizar el segundo trmino de la segunda componente del campo vectorial, y tambinpara hacer una sola integral en vez de cuatro. Para aplicar el teorema de la divergencia calculamos div F y 2y 3y Evaluaremos la integral de volumen de esta funcin escalar tomando el dominio como una regin de tipo 3 esto es, una regin encerrada entre dos funciones de un dominio bidimensional ubicado sobre el plano xz. INCRUSTAR Equation.3 ( 2) Verificar el teorema de la divergencia para elcampo vectorial F (r(r y la superficie esfrica x2 y2 z2 9. Solucin El vector r es el vector posicin (x y z). De modo que en trminos de las variables cartesianas el campo vactorial dado puede expresarse como INCRUSTAR Equation.3 La superficie dada puede parametrizarse a travs de coordenadas esfricas INCRUSTAR Equation.3 Con esta parametrizacin tenemos INCRUSTAR Equation.3 Es sta unanormal exterior Probmoslo con un punto. En (030) tendramos (((/2, y para tales valores el PVF calculado da (0-90), o sea una normal interna. Por lo tanto la normal externa vendr dada por el PVF calculado haciendo el producto vectorial en el orden opuesto, esto es INCRUSTAR Equation.3 Evaluando ahora F en funcin de esta parametrizacin es F((() 3(3sen(cos( 3sen(sen( 3cos() y F(r((r() 81sen( As queINCRUSTAR Equation.3 Hemos hecho un clculo bastante complejo por integrales de superficie. Veamos ahora cmo reduciendo esto a una integral de volumen con el teorema de la divergencia el clculo se simplifica notablemente. Calculemos en primer lugar la divergencia INCRUSTAR Equation.3 Calculando las derivadas parciales por separado y sumando miembro a miembro se tiene INCRUSTAR Equation.3Si ahora llevamos esto a coordenadas esfricas tenemos Haciendo los clculos obtenemos INCRUSTAR Equation.3 Hemos obtenido el mismo resultado por los dos caminos, verificando as el teorema de la divergencia.( 3) Calcular el flujo del campo F(x y z) (0 esenxz tanz y2) a travs del semielipsoide superior 2x2 3y2 z2 6, z ( 0 con su normal apuntando hacia arriba. Solucin Resolveremos esteproblema por el teorema de la divergencia. Si observamos que div F 0, y llamando (ver figura) S S1 ( S2 y V el volumen encerrado por S, podemos plantear INCRUSTAR Equation.3 (1) Nos interesa la integral no sobre toda la superficie S, sino slo sobre S2. Puesto que la integral es un concepto aditivo respecto al dominio de integracin, tendremos INCRUSTAR Equation.3 (2) Vemos que la integral sobreS2 es la misma que la integral sobre S1 cambiada de signo. Calcularemos, pues, esta ltima, que aparenta ser ms sencilla, dado que la normal es un vector vertical y adems la superficie carece de componente z. S1 es una elipse sobre el plano xy, 2x2 3y2 6, que puede ser parametrizada directamente en coordenadas cartesianas como T(x y) (x(x y) y(x y) z(x y)), donde INCRUSTAR Equation.3 ,donde los lmites para x y y han sido despejados de la ecuacin de la elipse. Para esta parametrizacin, tenemos que el producto vectorial fundamental ser INCRUSTAR Equation.3 Si ejecutramos el PVF en el orden inverso, nos dara -k. Cul debemos elegir El enunciado nos pide que la normal de la superficie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual significa que apunte hacia el exterior del volumen...