Divisibilidad

MULTIPLICIDAD.- Se dice que un número entero es
múltiplo de otro número entero positivo, llamado
módulo; si y solo si el primero es el resultado de
multiplicar el módulo por un número entero.
Es decir; si se cumple que:

Por defecto

Por exceso

A

A

B

rd

A=B.K

B
K

re

(K + 1)

A = BK + rd

podemos decir que A es múltiplo de B, y se puede
denotar de la siguientemanera:

A = B (K + 1) – re

°
A = B + rd

donde: A  Z ; B  Z+ ; K  Z

°
A = B – re
B = r d + re

°

°
A=mB ; A=B ; A= B
Ejemplo:



°
54 = 3 ; porque

54 = 3 (18)

°
-42 = 6 ; porque –42 = 6 (-7)
°
0 = 5 ; porque

Ejemplo:

0 = 7 (0)

62

K

54

3

0

18

-42

6

0

-7

0

5

0




2

8

62 = (8) (8) – 2

°
62 = 8 + 6°
62 = 8 – 2

8=6+2
PROPIEDADES FUNDAMENTALES

0

Si sumamos varios números enteros, múltiples de n,
entonces el resultado también es múltiplo de n.

54 es divisible por 3,
y 3 es divisor de 54.

-42 es divisible por 6;
y 6 es divisor de -42.

°°°°°
n+n+n+n=n
Ejemplo:
8 + 12 + 20 = 40

°

°

°

°
4+4+ 4 = 4
0 es divisible por 5;
y 5 es divisor de 0.

2.

Unnúmero negativo puede ser múltiplo de otro
positivo.
El divisor (módulo) tiene que ser un número
positivo.
El cero es múltiplo de todo número excepto de si
mismo.
El cero no es divisor de ningún número.

NÚMEROS NO DIVISIBLES.- Un número entero no es
divisible o no es múltiplo de otro entero positivo; cuando
al efectuar la división entera, el residuo resulta diferente
de cero; entonces, ladivisión inexacta se puede realizar
de dos formas por defecto o por exceso.

Si tenemos 2 números ambos múltiplos de ¨n¨,
entonces la diferencia de ellos también en múltiplo
de ¨n¨.

°°°
n-n=n

Observando los conceptos de divisibilidad y
multiplicidad son equivalentes, sólo difieren en el
punto de vista.

OBSERVACIONES:



7

62 = (8) (7) + 6

1.

Ejemplo:



8donde: A  Z
B  Z+
KZ

luego podemos decir que B es divisor de A.



62

B

O

8

6

DIVISIBILIDAD.- Se dice que un número entero es
divisible entre otro entero positivo llamado módulo, si al
dividir el primero entre el segundo, el cociente es entero
y el residuo es cero.
Es decir; si se cumple que:
A

Como se puede observar, la suma de los residuos es
igual al módulo.Ejemplo: 56 – 21 = 35

°°
7–7
3.

°
=7

Si tenemos un número múltiplo de n y otro número
entero cualquiera K.
Se cumple que:

°
°
(n) K = n
°
°
(n) K = nK
Ejemplo:
(15 (2) = 30

°
°
° (2) = 6
°
(3)
(3) (2) = 3

4.

Si tenemos un número entero n y otro número
múltiplo de n, se cumple que al dividir el mayor
entre el menor, obtenemos un entero (K).

°
n

5.°

Si 12m = 21, como 12 y 21 tiene como máximo
común divisor a 3; luego extraemos este factor y se

°
obtiene 4m = 7 y con un análisis similar al hecho en
°
el ejemplo anterior, concluimos que m = 7.

k

n

Ejemplo:



DIVISIBILIDAD APLICADA

°

42  6

42



6

número
entero

7

1.

°
°
(a + b)n = a + bn
°
a + bn ; n par

Sea un número múltiplo de ny un número natural

°
2. (a – b)n
°
a – bn ; n impar

k:

°
nk

RESTOS POTENCIALES.- Se denominan restos
potenciales de un entero A diferente de cero, con
respecto a un módulo B, a los restos que se obtiene al
dividir la serie de potencias naturales y consecutivas de
A entre el módulo B.

°
n
°
n

°
nk

°
n



2

°
n

Ejemplo:

3

4



1

4243

°
nk

44

Ejemplo:

45

°
7

46

°
72

(2)5 = 35 . 75

Podemos observar que
los restos potenciales
(1; 4 y 2) se repiten
periódicamente; a la
cantidad que nos indica
el período de repetición
de estos restos (3) se
denomina Gaussiano.

°
74

°
75

3

3



°
73

Además los exponentes y los restos exponenciales se

°
75
6.

°
°+4
=7
°
=7+2...