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Solucionario

3

Sistemas de ecuaciones
ACTIVIDADES INICIALES

3.I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

2 x + y = 5
a) 
 4 x − 2 y = −2

2 x + y = 0
b) 
 −6 x − 3 y = 0

2 x + y = 5
c) 
 4 x + 2y = 7

2 x + y = 0
d) 
5 x − 3 y = 0

2 x + y = 5
4 x + 2y = 10
a) 

 8 x = 8  x = 1, y = 3
−
=
−
4
x
2
y
2

4 x − 2y = −2
2 x + y = 0
 x = λ, y = −2λ , ya que las dosecuaciones son equivalentes.
b) 
−6 x − 3 y = 0
2 x + y = 5
c) 
es incompatible.
4 x + 2y = 7
2 x + y = 0
6 x + 3 y = 0

 x = 0, y = 0
d) 
−
=
5
x
3
y
0

5 x − 3 y = 0

3.II. En cada caso, escribe un sistema de ecuaciones cuya solución sea la señalada.
a) x = 3, y = –2

 x = 1+ λ
b) 
 y = −2 − λ

c) x = – 4, y = 5

 x = 4 − 3λ
d) 
 y = −λ

x + y = 1
c) 
2x + 3y = 7

 x − 3y =4
d) 
2x − 6y = 8

Respuesta abierta. Por ejemplo:
x + y = 1
a) 
x − y = 5

 x + y = −1
b) 
 2 x + 2y = −2

EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1. Escribe los siguientes sistemas en notación matricial.
 2 x − y + 3 z = −1

b) 3 y + 2z = 4
 −4 x + 5 y = 0


 3t − 2r + 5 = 0
a) 
t + r − 3 = 1
3
a) 
1

 2
b)  0
 −4


−2  t   −5 
= 
1 
 r   4 

−1 3   x   −1
3 2  y =  4 
5 0   z   0 

3.2. Escribe en notación ordinaria los sistemas de ecuaciones correspondientes a las siguientes ecuaciones
matriciales.
1
a)  3
2


−2
3
−1

0
3
 1
1
b) 
− 1 −3
0
2


0  a  2 
−1  b  =  0 
5   c   −2 

−2 
3
x
4     2 
y =
2     1
z  


−5 
0

3 x − 2z = 3
 x + y + 4z = 2

b) 
 − x − 3 y + 2z = 1
2y − 5z =0

a − 2b = 2

a) 3a + 3b − c = 0
2a − b + 5c = −2


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Solucionario

3.3. Comprueba que los siguientes sistemas son equivalentes:
2 x − 4 y = 5

b)  x + 3 y = 7
3 x − y = 12


2 x − 4 y = 5
a) 
 x + 3y = 7

Basta observar en el segundo sistema que la tercera ecuación es suma de las otras dos.

 x + 2y = 3
3.4. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 
. Añade una ecuación aeste sistema de
 4 x − 3y = 1
manera que resulte un sistema equivalente.

Una ecuación posible puede ser la suma de las dos ecuaciones, es decir, 5x − y = 4.

3.5. (PAU) Resuelve por el método de Gauss los siguientes sistemas:
 x + 2y + z = 1

a) 2 x + y + 2z = 2
x + y + z = 1


 x + 2y + z = 1

a) 2 x + y + 2z = 2
x + y + z = 1


x + y + z = 3

b)  x + 2 y + 3z = 6
2 x + y = 2
⎯⎯⎯⎯
→
E − 2E
2
1
E3 −E1

 x + 2y + z = 1
 x + 2y + z = 1
x + z = 1
x = 1− z

→ 
→ 
→ 
−3 y = 0
y = 0
y = 0
y = 0
− y = 0


Si a z le damos el valor λ, entonces x = 1 − λ, e y = 0.
Por tanto, las soluciones son: x = 1 − λ, y = 0; z = λ.
x + y + z = 3

b)  x + 2y + 3z = 6
2 x + y = 2


⎯⎯⎯⎯
→
E −E
2 1
E3 −2E1

x + y + z = 3

 y + 2z = 3
 − y − 2z = −4


⎯⎯⎯⎯
→
E +E
3

2

x + y + z= 3

 y + 2z = 3
0 = −1


El sistema es incompatible.
x − y + z = 0
 x + 2 y + 3z = 3

3.6. (PAU) Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema: 
2 x − y + 3z = 1
 4 x + 3 y + 9z = 7
x − y + z = 0
 x + 2y + 3z = 3


2 x − y + 3 z = 1
4 x + 3 y + 9z = 7

⎯⎯⎯⎯
→
E −E
2 1
E3 −2E1
E4 − 4 E1

x − y + z = 0
3 y + 2z = 3


y + z = 1
7 y + 5z = 7

⎯⎯⎯⎯
→
E −3 E
2
3
E4 −7E3x − y + z = 0
−z = 0


y + z = 1
−2z = 0

De la segunda ecuación obtenemos que z = 0, y sustituyendo en las demás se obtiene que y = 1, x = 1.

2 x − 4 y = 5
3.7. Resuelve el siguiente sistema, utilizando el método de la matriz inversa: 
 x + 3y = 7

2
1


−4 
3 

 3
 x  =  5   AX = B  X = A −1B. X =  10
y
7
 1
 
 
−
 10

Por tanto, x =

2
5
1
5

43
9
;y=
10
10Solucionario

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





 43 
 5  =  10 
7
 9 
 


 10 

Solucionario
3.8. Utiliza el método de la matriz inversa para resolver, en caso de que sea posible, el siguiente sistema:
2 x + 3 y = 1

 4 x + 6y = 2
2
4


3  x
1
=    AX = B. Como |A| = 0, no existe matriz inversa, y no se puede resolver por este método.
6   y 
 2

1

2 x + 3 y = 1
 x...