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Límite matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración,entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado enotras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Índice
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1 Límite de una sucesión
2 Límite de una función
3 Límite de una sucesión de conjuntos
4 Límite en espacios topológicos
4.1 Redes
4.2 Filtros5 Límite de Banach
6 Límites en teoría de categorías
7 Véase también
8 Referencias
9 Enlaces externos
Límite de una sucesión[editar · editar fuente]


La sucesión  para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión seaproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando  tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:

si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural  tal que todos lostérminos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural  mayor que  converjan a  cuando  crezca sin cota.
Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
 
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
Límite de una función[editar · editar fuente]Visualización en un sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función.
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c,independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ,entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

Límite de una sucesión de conjuntos[editar · editar fuente]
Artículo principal: Límite (sucesión de conjuntos).
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de...