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TEMA 2
CURVAS EN EL PLANO
POLAR

OBJETIVO
El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de
curvas en el plano y determinará las características de éstas a partir de sus ecuaciones en forma polar.
CONTENIDO
2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetría de
puntos en coordenadas polares.
2.2 Transformación de coordenadas cartesianas a
polares y de polares a cartesianas.

2.3 Ecuacionespolares de curvas. Cardiodes,
lemniscatas, rosas de tres pétalos.
2.4 Análisis de una curva representada por una
ecuación polar.

SISTEMAS DE REFERENCIA
DEFINICIÓN:
Un sistema de referencia es un conjunto de ele-mentos
geométricos que permiten la localización de un punto
en una recta, en un plano o en el es-pacio.
COORDENADAS POLARES: Consiste en un eje
denominado eje polar y un puntofijo en él llamado
polo.
DEFINICIÓN:
Se llama semieje de medición a la parte del eje po-lar
que va del polo hacia donde indica el sentido del eje.
Sentido de medición
0 polo

Eje polar

DEFINICIÓN:
El radio vector de un punto es un segmento de
recta que va desde el polo hasta el punto.
Se puede utilizar indistintamente el término de
radio vector o longitud del radio vector.DEFINICIÓN:
Un argumento de un punto es el ángulo que forman el semieje de medición y el radio vector.
P(r, θ)
r
0 (polo)

θ
Eje polar

De acuerdo a las dos últimas definiciones las coordenadas del punto P se pueden especificar como: P(r, θ); donde r es la longitud del radio vector y
θ es el argumento.

En la definición del argumento se habla de sólo un
argumento, ya que pueden haber variosargumentos (θ ± 2π) si se mantiene el mismo signo positivo
en el radio vector. O bien si se le cambia el signo al
radio vector, cambia de dirección y se puede obtener la misma coordenada del punto P(r, θ), si al argumento se le varía como (θ ± π).

DEFINICIÓN:
Si un punto tiene coordenadas polares P(r, θ),
dicho punto se puede representar también por:
i) P(-r, θ ± π) o en general P(-r, θ± (2n -1 )π)
ii) P(r, θ ± 2π) o en general P(r, θ ± 2nπ) n Є N

EJERCICIO:
1.- Represente en el plano polar el punto A que
tiene coordenadas polares A(3, 45º)

RESOLUCIÓN
A(3,45°); A(3, π/4)
A(3, π/4)

45° = π/4)
0 1 2 3 4 5 6

Eje polar

EJERCICIO:
2.- Represente gráficamente el punto B que tiene
por coordenadas polares B(-2, -30º).

RESOLUCIÓN
B(-2, -30°), B(2, 5π/6) = B(2,150°)
B(-2, -π/6)
Eje polar
0 1 2 3 4 5 6
-30°= -π/6

EJERCICIO:
3.- Represente gráficamente el punto C que tiene
por coordenadas polares C(-1, π)

RESOLUCIÓN:
C(-1,π), C(1, 0°) = C(1, 0) = C(1, 2π)
C(1, 0) = C(1, 2π)

0 1 2 3 4 5 6

Eje polar

DEFINICIÓN:
Se llama eje copolar al eje a 90º (π/2) al eje perpendicular al eje polar y que pasa por el polo.

Eje copolar o
eje a90º
(π/2)
0 (polo)

Eje polar

Dado que un punto P en el plano polar tiene un
número infinito de representaciones, es necesario
hacer la siguiente:

DEFINICIÓN:
Se le llaman coordenadas polares principales de
un punto P a aquellas en donde el radio vector tiene longitud positiva y el argumento varía entre:
0 ≤ θ ≤ 2π.

EJERCICIO:
Encuentre las coordenadas principales del puntoM(-√7, 55π/6)

RESOLUCIÓN:
4 vueltas

θ = 55π = 54π + π = 9π + π = 8π + π + π
6

6

6

6

6

= 180° + 30° = 210°

180°

√7 M(-√7, 55π/6)
30°

30°

-√7

0

M(√7, π/6)
Eje polar

REPRESENTACIÓN POLAR DE UNA CURVA
Dado que un punto en un plano de coordenadas
polares tiene un número infinito de representaciones, una curva en este sistema coordenado
puede tenervarias representaciones, por lo que es
necesario establecer la siguiente definición:

DEFINICIÓN:
Se llaman ecuaciones polares equivalentes a aquellas que representan al mismo lugar geométrico.

x² + y² = r²
(rcosθ)² + (rsenθ)² = r² = 1² = 1
r²cos²θ + r²sen²θ = 1 = r²(cos²θ + sen²θ
r² = 1
r=±1
r=1
r = -1

Circunferencia
r=1
r
0

θ
x

y

Eje polar
1

Hay ecuaciones...