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okFactorización
Factorizar un polinomio
Caso I - Factor común
Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términosab+ac+ad=ab+c+d
ax+bx+ay+by=ax+y+bx+y=x+y(a+b) y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
5x2x-y+3xx-y+7x-y
(5x2+3x+7)(x-y)
Caso II - Factor común por agrupación de términos
2y+2j+3xy+3xj
=2y+2j+(3xy+3xj)
=2y+j+3x(y+j)
=2+3x+(y+j)
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
a+b2=a2+2ab+b2
a-b2=a2-2ab+b2
Caso IV - Diferencia de cuadradosay2-bx2=ay-bx(ay+bx)
O en una forma más general para exponentes pares:
ay2n-bx2m=(ayn-bxm)(ayn+(bx)m)
Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
ayn-bxm=ayn2r-bxm2r.i=1rayn2i-bxm2i
La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el productode binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.
x2+xy+y2=x2+xy+y2+xy-xy=x2+2xy+y2-xy=x+y2-xyNótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + c
a2+2a-15=a+5(a-3)
Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n
La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
xn+yn=x+y(xn-1-xn-2y+xn-3y2-…+xyn-2-yn-1)
Ejemplo:x3+1=x+1(x2-x+1)
La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:
xn-yn=x-y(xn-1+xn-2y+xn-3y2+…+xyn-2+yn-1)
Ejemplo:
x3-1=x-1(x2+x+1)
a2-b2=a-b(a+b)
Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + c
En este caso se tienen 3términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
4x2+12x+9
Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término (4x2):
4x2+12x+(9·4)
4x2+12x+36
Luegodebemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x:
6·6=36
6+6=12
Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente:
4x6(4x+6)
Para terminar dividimos estos términos por elcoeficiente del término x2 :
(4x+6)4:=(4x+6)2.(4x+6)2
Queda así terminada la factorización:
2x+32x+3:=(2x+3)2
Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios
a+b3=a2+3a2b+3ab2+b3
a-b3=a2-3a2b+3ab2-b3

Productos notables

Factor común
ca+b=ca+cb
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
Producto de dos binomios con un término común
x+ax+b=x2+a+bx+abProducto de dos binomios conjugados
a+ba-b=a2-b2
Polinomio al cuadrado
a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+ac+bc
a+b+c+d2=a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
Binomio al cubo o cubo de un binomio
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
Identidades de Cauchy:
a+b3=a3+b3+3ab(a+b)
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el...