E10 Matricial 8

Análisis elemental de estructuras. Enfoque práctico. Jorge Bustinza Esparta. Dr Arquitecto

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CALCULO MATRICIAL
Problema nº 93
Hallar la matriz de rigidez global de la estructura de muelles de la figura y los esfuerzos en
cada elemento. Comprobar el equilibrio en cada nudo. Dato: k=1000.
k
20
2k

k
10

Solución:
a) Numeremos los elementos de la estructura y los grados de libertad de lamisma.
3
Elemento

1
1

2

Grado de libertad general

1
2

1

La matriz de rigidez de un elemento referido a los grados de libertad locales es:
2

1
k

1 Grado de libertad local

⎡ k − k⎤
k (l) = ⎢
⎥
⎣− k k ⎦
b) La matriz de conectividad de la estructura de muelles es:
1

2

3

1

0

1

0

2

1

2

2

c) Ensamblemos la matriz de rigidez global.
La matriz de rigidez global de la estructura es de 2x2 ( 2filas y 2 columnas).
c.1) La contribución del primer elemento es:
⎡2k 0 ⎤
kG = ⎢
⎥
⎣ 0 0⎦

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c.2) Añadimos la contribución del segundo elemento a la matriz kG:
⎡ 2 k + k − k ⎤ ⎡ 3k − k ⎤
kG = ⎢
=
k ⎥⎦ ⎢⎣− k k ⎥⎦
⎣ −k
c.3) Por último al añadir el tercer y último elemento obtenemos
⎡ 3k − k ⎤ ⎡ 3k − k ⎤ ⎡ 3000 − 1000 ⎤
kG = ⎢
⎥
⎥ = ⎢⎥=⎢
⎣− k k + k ⎦ ⎣− k 2k ⎦ ⎣− 1000 2000 ⎦
d) El vector de fuerzas.

⎡10 ⎤
F =⎢ ⎥
⎣20 ⎦
e) Resolución de ecuaciones.
⎡10 ⎤ ⎡ 3000 − 1000 ⎤
F = KG D ⇒ ⎢ ⎥ = ⎢
⎥
⎣20 ⎦ ⎣− 1000 2000 ⎦

8
⎧
⎫
⎪ u 1 = k = 0 ,008 ⎪
⎡u 1 ⎤
⎬
⎢u ⎥ ⇒ ⎨
14
⎣ 2⎦
⎪u 2 =
= 0 ,014 ⎪
k
⎩
⎭

f) Fuerzas internas en cada elemento.
P1 = 2k Δ1 = 2000 u1 = 16 (Tracción)
P2 = k Δ2 = 1000 (u2 – u1 )= 6 (Tracción)
P3 = k Δ3 = 1000 u2 = 14(Tracción)
g) Equilibrio en los nudos
14
20

6
16
10
Σ Fx = 0

6
Σ Fx = 0

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Problema nº 94
Obtener la matriz de rigidez del problema anterior utilizando de forma directa la definición
de rigidez de la estructura.
k

2k

k

Solución:
Por definición, la columna i de la matriz de rigidez contiene las fuerzasexternas a aplicar
en los grados de libertad de la estructura cuando se le da al grado de libertad i un
desplazamiento de valor unitario y nulo al resto.
a)Grado de libertad 1.

3k
k

2k
u1 = 1

k
k
u2 = 0

k

Fuerza externa en el grado de libertad

k

Fuerza interna que se genera en el elemento

Aplicamos un desplazamiento unitario en el grado de libertad 1 (GDL1), y nulo en el grado
delibertad 2 (GDL 2). Como consecuencia de ello se generan unas fuerzas internas en los
elementos que confluyen en el nudo del grado de libertad, -2k y -k en el GDL1, y como
consecuencia k en el GDL2.
El equilibrio en estos nudos nos indica las fuerzas 3k (en GDL1) y –k (en GDL2) que
constituyen la primera columna de la matriz de rigidez.
⎡ 3k ⎤
Por tanto , 1ª columna = ⎢ ⎥
⎣− k ⎦

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b)Grado de libertad 2.
k
2k
k

k

k

u1 = 0

u2 = 1

k

Fuerza externa en el grado de libertad

k

Fuerza interna que se genera en el elemento

Aplicamos un desplazamiento unitario en el grado de libertad 2 (GDL2), y nulo en el grado
de libertad 1. Como consecuencia de ello se generan unas fuerzas internas en los elementos
que confluyen en el nudo delgrado de libertad, -k y -k en el GDL2, y como consecuencia k
en el GDL1.
El equilibrio en estos nudos nos indica las fuerzas -k (en GDL1) y 2k (en GDL2) que
constituyen la segunda columna de la matriz de rigidez.
⎡− k ⎤
Por tanto , 2ª columna = ⎢ ⎥
⎣ 2k ⎦
c) Matriz de rigidez global.

⎡ 3k − k ⎤
kG = ⎢
⎥
⎣− k 2 k ⎦
Podemos observar que es la misma matriz que la obtenida en el problema anterior.Problema nº 95
Encontrar la matriz de rigidez y los esfuerzos internos en cada elemento de la cercha de la
figura. Comprobar el equilibrio en el nudo donde se aplican las fuerzas.
Para todos los elementos: EA=104 kN, L=5m.
20 kN
10 kN

30º
60º

Solución:
La matriz de rigidez de un elemento barra que forma un ángulo α con la horizontal referida
a los grados de libertad indicados en la figura es:...