ec. diferencialea

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
Definición.

Una ecuación diferencial parcial es una ecuación que contiene una
función incognita de dos o mas variables y sus derivadas parciales
respecto de esas variables .
El orden de una ecuación diferencial parcial es el orden de la derivada mas alta que
se presenta.
Ejemplos:
1)

∂2u  ∂2u  0
∂x 2
∂y 2

 2º orden 

2)

∂ 2 u  2x − y∂x∂y

 2º orden 

3)

∂u  ∂ 2 u
∂t
∂x 2

 2º orden 

Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función que la satisfaga
identicamente .
Ejemplo

y
ux, y  arctan x  es una solución de 1) .
∂2u 
∂x 2

2xy
x  y 2  2
2

ux, y  e −4t cos 2x

;

∂2u 
∂y 2

−2xy
x  y 2  2
2

es una solución de 3) .

La solución general de unaecuación diferencial parcial es una solución que contiene
un número de funciones independientes arbitrarias iguales al orden de la ecuación .
Una solución particular es la que puede ser obtenida desde la general por escogencia
particular de funciones arbitrarias .
Ejemplo . ux, y  x 2 y −
ux, y  x 2 y −

1
2

1
2

xy 2  Fx  Gy

solución general de 2)

xy 2  2 sin x 3y 2 − 5 solución particular .

Ejemplo:
La ecuación de Laplace
∂2u  ∂2u  ∂2u  0
∂x 2
∂y 2
∂z 2
se escribe ∇ 2 u  0 (una función que satisface ∇ 2 u  0 se llama armónica)
Dos problemas asociados a la ecuación de Laplace.
Problema de Dirichlet.
En  3 : En un conjunto M de  3 con frontera la superficie S.
∇ 2 u  0 en M
∧ ux, y, z  fx, y, z en S.
2
En  : En un conjuntoM de  2 con frontera la curva C.
∇ 2 u  0 en M
∧ ux, y  fx, y en C.
Problema de Neumann.
En un conjunto M de  3 con frontera la superficie S.
∇ 2 u  0 en M
∧ ∂u x, y, z  fx, y, z en S.
∂n
Ecuación de Poisson.
∇2u  f
Def .

Un problema de valor límite que incluye una ecuación diferencial parcial
busca todas las soluciones de la ecuación que satisfacen las llamadascondiciones limites .

Problema de valor límite

condiciones iniciales − tiempo
condiciones de frontera − variable

 EDP

Ecuaciones Diferenciales Parciales Lineales.
Una ecuación diferencial parcial lineal de orden 2 en dos variables tiene la forma :
2
2
2
∗ A ∂ u  B ∂ u  C ∂ u  D ∂u  E ∂u  F u  G
2
∂x
∂y
∂x∂y
∂x
∂y 2
donde A, B, C, D, E, F, G pueden depender de x , de ypero no de ux, y .

Si
G≡ 0
∗
es homogénea .
Si
G≠ 0
∗
es no homogénea .
Si no tienen la forma ∗ la ecuación diferencial parcial de segundo orden es no lineal.
Además tienen la siguiente clasificación :

Si
B 2 − 4AC  0 la ecuación es eliptica .
Si
B 2 − 4AC  0 la ecuación es parabólica .
Si
B 2 − 4AC  0 la ecuación es hiperbólica .
Ejemplo 5)
∂ 2 u  3 ∂ 2 u  4 ∂ 2u  5 ∂u − 2 ∂u  4 u  2x − 3y
∂x
∂y
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
2
B − 4AC  9 − 16  −7  0 es eliptica .
Ejemplo 6)
2
2
x ∂ u  y ∂ u  3y 2 ∂u  0
2
∂x
∂x
∂y 2
2
B − 4AC  −4xy
Depende de xy
Principio de superposición.
Sean u 1 , u 2 , u 3 , . . . . , u n soluciones de una ecuación diferencial parcial lineal
homogénea , entonces
c 1 u 1  c 2 u 2  c 3 u 3 . . . . c n u n con c 1 ,c 2 , . . . . , c n constantes es tambien
solución .
Ejemplo 6) : PVL
u0, t  u, t 
∂u  2 ∂ 2 u
2
∂t
∂x
ux, 0 
sin 2x

0

Condición

frontera

Condición

inicial

Verificar que ux, t  e −8t sin2x es solución .
2
∂u  −8e −8t sin2x
; ∂ u  −4e −8t sin2x
∂t
∂x 2
además

u0, t  u, t  0

ux, 0  sin 2x
Ejemplo 7)
Verificar que v  Fy − 3xF es una función diferenciable arbitraria de
una variable es la solución general de
∂v  3 ∂v  0
∂x
∂y
∂v  −3F ′ y − 3x ; ∂v  F ′ y − 3x
∂y
∂x
Encontrar la solución particular que satisface v0, y  4 sin y
vx, y  Fy − 3x
v0, y  Fy  4 sin y luego
vx, y  4 siny − 3x es la solución .
Ejemplo 8) verificar que

ux, t  f2x  5t  g2x − 5t
es la solución...