Econometria

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico. Universidad de Alicante. Curso 2012/13 ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Soluciones a los problemas del Tema 1 Nota: En todos los ejercicios, se supone que las muestras utilizadas constituyen una muestra aleatoria simple. 1. Se sabe que el número de artículos defectuosos que hay en un lote producido por una empresa es una v.a. discretaX con función de probabilidad: fX (0) = 0:7, fX (1) = 0:2, fX (2) = 0:1. Un investigador no conoce esta función y quiere estimar la media de la v.a. X, que llamaremos , y su desviación típica, que llamaremos . Para su estudio el investigador dispone de una muestra de tamaño 2, con la que calcula la media muestral X y la desviación típica muestral S: (a) Calcula y :

(b) Calcula la función deprobabilidad de X. ¿Es E(X) = ? (c) Calcula la función de probabilidad de S. ¿Es E(S) = ? (d) Supongamos que el investigador quiere estimar también la probabilidad de que un lote no contenga ningún artículo defectuoso, es decir fX (0); para ello calcula la frecuencia relativa del valor 0 en su muestra, que llamaremos f0 : Calcula la función de probabilidad de f0 y analiza si E(f0 ) coincide con fX(0). Solución: (a) En este caso: = E(X) = 0 Por otra parte: E(X 2 ) = 02 0:7 + 12 0:2 + 22 0:1 = 0:6 ) p p p = SD(X) = E(X 2 ) E(X)2 = 0:6 0:42 = 0:44 = 0:6633 0:7 + 1 0:2 + 2 0:1 = 0:4

(b) Elaboramos una tabla con los posibles resultados de la muestra, su correspon-

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diente probabilidad, y el resultado de la media muestral en cada caso. (X1 ; X2 ) Probabilidad (0; 0) 0:49 (0; 1) 0:14(0; 2) 0:07 (1; 0) 0:14 (1; 1) 0:04 (1; 2) 0:02 (2; 0) 0:07 (2; 1) 0:02 (2; 2) 0:01 X 0 0:5 1 0:5 1 1:5 1 1:5 2

La función de probabilidad se deduce fácilmente de esta tabla: fX (0) fX (0:5) fX (1) fX (1:5) fX (2) = = = = = 0:49 0:14 + 0:14 = 0:28 0:07 + 0:04 + 0:07 = 0:18 0:02 + 0:02 = 0:04 0:01

A partir de la función de probabilidad puede derivarse la esperanza de la v.a. media muestral:E(X) = 0 0:49 + 0:5 0:28 + 1 0:18 + 1:5 0:04 + 2 0:01 = 0:4

El valor que hemos obtenido coincide con el valor calculado antes, luego sí es cierto que E(X) = : En realidad podíamos haber respondido a esta pregunta sin necesidad de hacer el último cálculo, pues sabemos que siempre se cumple que la esperanza de la v.a. media muestral es la media poblacional. (c) Repetimos ahora el análisis anterior,pero centrándonos en la desviación típica muestral S; que en este caso, como n = 2; resulta ser igual a S = [(X1 X)2 + (X2 X)2 ]1=2 : (X1 ; X2 ) Probabilidad S = [(X1 (0; 0) 0:49 (0; 1) 0:14 (0; 2) 0:07 (1; 0) 0:14 (1; 1) 0:04 (1; 2) 0:02 (2; 0) 0:07 (2; 1) 0:02 (2; 2) 0:01 2 X)2 + (X2 0 0:51=2 21=2 0:51=2 0 0:51=2 21=2 0:51=2 0 X)2 ]1=2

La función de probabilidad se deduce fácilmente de estatabla: fS (0) = 0:49 + 0:04 + 0:01 = 0:54 fS (0:51=2 ) = 0:14 + 0:14 + 0:02 + 0:02 = 0:32 fS (21=2 ) = 0:07 + 0:07 = 0:14 A partir de la función de probabilidad puede derivarse la esperanza de la v.a. desviación típica muestral: E(S) = 0 0:54 + 0:51=2 0:32 + 21=2 0:14 = 0:4243

Este valor no coincide con el valor E(S) = :

calculado antes, luego no se cumple que

(d) Finalmente repetimos elmismo análisis anterior considerando ahora la v.a. f0 = frecuencia relativa del valor 0: (X1 ; X2 ) Probabilidad (0; 0) 0:49 (0; 1) 0:14 (0; 2) 0:07 (1; 0) 0:14 (1; 1) 0:04 (1; 2) 0:02 (2; 0) 0:07 (2; 1) 0:02 (2; 2) 0:01 f0 1 0:5 0:5 0:5 0 0 0:5 0 0

La función de probabilidad se deduce fácilmente de esta tabla: ff0 (0) = 0:04 + 0:02 + 0:02 + 0:01 = 0:09 ff0 (0:5) = 0:14 + 0:07 + 0:14 + 0:07 =0:42 ff0 (1) = 0:49 A partir de la función de probabilidad puede derivarse la esperanza de la v.a. f0 : E(f0 ) = 0 0:09 + 0:5 0:42 + 1 0:49 = 0:7 El valor que hemos obtenido coincide con el valor fX (0); luego sí es cierto que E(f0 ) = fX (0): 2. La duración (en años) de un componente electrónico fabricado por una empresa es una v.a. continua X con función de densidad: ( 3 2 x si 0 x 2 8 f (x) =...