Economia

Mínimos Cuadrados Clásicos
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1) Sea el siguiente modelo Lineal que vincula a las variables X e Y:

Yt = b0 + b1 X t + ut

b1 > 0

Suponiendo vigente los supuestos de G-M y utilizando la siguiente información

Yt = 3,2,4,5,5,7,6,8,8,12
X t = 1,2,2,3,4,5,5,9,9,15
Se pide:
a)
b)
c)
d)

Estimar el modelo por MCC.
Estimar las varianzas y covarianzas de las estimaciones.
Estimarel coeficiente de determinación.
Al responder el ítem a) utilizar alternativamente las siguientes escalas de medición:
d1) unidades originales para todas las variables del modelo.
d2) unidades centradas para la variable explicativa únicamente.
d3) unidades centradas para todas las variables del modelo.

2) Sea el siguiente modelo lineal con dos variables explicativas:

Yt = b0 + b1 X 1t +b2 X 2t + ut
para el que se suponen vigentes los supuestos de G-M. Utilizando la información estadística
del ejercicio anterior y añadiendo:

X 2t = 8,14,10,9,7,6,8,4,3,1.
Se pide que vuelva a realizar los puntos a, b, c y d del ejercicio anterior teniendo en cuenta el
nuevo modelo y la nueva información.
3) Considerando el modelo de regresión lineal con k variables explicativas y unvector de
perturbaciones aleatorias, esto es, expresado en forma matricial:

y = Xb + u

u ≈ N(0,σ 2 I )

a) Describir los supuestos que hay detrás de este modelo de regresión lineal.
b) El problema central es obtener el vector b desconocido. Demuestre que la
estimación de los parámetros que están incluidos en b, representados por

ˆ
puede obtener como b = (X′X) X′y
c) Explique laspropiedades de los estimadores MCC.
d) Derive la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCC.
−1

ˆ
e) Demuestre que b ≈ N(b,σ (X′X) )
f) Explique y desarrolle el teorema de Gauss-Markov.
2

−1

1

ˆ
b se

4) Suponiendo que en la regresión mínimo cuadrática clásica de Y sobre X el coeficiente
estimado de X es 1,2.
Determinar si son ciertas las siguientes afirmaciones:
a)Tomando distintas muestras para la variable Y pueden obtenerse otras
estimaciones.
b) La distribución de estas estimaciones debe estar centrada en torno al verdadero
valor 1,2.
5) Considerando las siguientes especificaciones para la parte sistemática de la función de
regresión:
a)

Yt = a(X1t )b1 ( X 2t )b 2

b)

Yt = e( a +bX t )

c)

Yt = a + b

d)

Yt = a + b1X t + b2 X t2X = ab y

1
Xt

Se pide:
a) Introducir el término aleatorio en cada modelo.
b) Interpretar los coeficientes en los distintos casos.
c) Determinar si es necesario realizar alguna transformación para poder estimar por
MCC los parámetros del modelo.
6) Determinar si las siguientes afirmaciones son correctas y justificar:

b1 con varianza V 1 proporciona siempre mejores
estimaciones queel estimador sesgado b 2 con varianza V2 , donde V 1 > V2 .

a) El estimador insesgado

b) En el modelo de regresión lineal general la matriz de covarianzas estimada del
estimador MCC de b es la misma para cualquier muestra que se tome.
7) Demostrar que:
a)

∑Y = ∑ y

b)

∑ y = ∑ Yy

c)

∑ XY = ∑ xy + nXY

d)

∑ xy = ∑ Xy = ∑ xY

e)

n ∑ x 2 = n ∑ X 2 − (∑ X) 2

2

2+ nY 2

2

2

f)

ˆ
R 2 = (β′X′y − nY 2 )/(y ′y − nY 2 )

en donde las letras mayúsculas indican variables no centradas y las letras minúsculas variables
centradas.

8) En el modelo

Yt = b0 + b1 X t + ut , demostrar las siguientes igualdades:

2
ˆ
a) b1 = Sxy / S x

Siendo

S

2

∑x
x=

2

y

T

Sxy =

∑ xy
T

b)

ˆ
ˆ2
R 2 = A /(1 + A), en dondese define A = b1Σxy /(T − 2)σ u

c)

ˆ2
R 2 = b1 ( S 2 x / S 2 y )

d)

ˆ
∑u = ∑ y
2

ˆ
− b1 ∑ xy

2

9) Demostrar las siguientes expresiones:

ˆ
ˆˆ
a) u′u = y ′y − b′X′y
b)

ˆˆ
ˆˆ
u′u = y ′y − y ′y

Yt = α + β X t + ut es el
inverso del estimador MCC del coeficiente δ en el modelo X t = γ + δ Yt + vt si y solo si el

10) **Probar que la estimación MCC del...