EcoParabola

9/ Las cónicas.

8. La elipse.
Definición:

Dados dos puntos F y F’ y una distancia 2a mayor que la distancia FF’, se llama
elipse de focos F y F’ y parámetro 2a, al lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a F y a F’ es 2a.
Debe cumplirse pues que, para todo punto M de la elipse E MF + MF’ = 2a.
Vocabulario y propiedades.

Sea M un punto de la elipse E de focos F y F’, yM’ su simétrico respecto de la recta
(FF’). El segmento [M’F] es simétrico del [MF] y también lo es el [M’F’] del
[MF’]; en consecuencia:
M’F = MF y M’F’ = MF’ entonces sumando estas dos igualdades miembro a miembro se tiene:
M’F + M’F’ = MF + MF’ por lo que si el punto M pertenece a la E entonces su
simétrico M’ respecto de la recta focal (FF’) también pertenece.
La recta focal es por lo tantoeje de simeB
M
tría de la elipse.
(E)
De manera similar se prueba que la mediatriz del segmento [FF’] es eje de simetría
de la elipse. Esta recta se llama eje no focal
F’
O
F
A’
A
de la elipse.
Recordemos que si una figura admite dos
M’
ejes de simetría perpendiculares entonces
B’
la intersección de éstos es centro de simetría de la figura. Llegamos así a que el punto medio O de [FF’] es el centrode la
elipse.
El eje focal (FF’) corta a la elipse en dos puntos A y A’ llamados vértices de la
elipse y que están a distancia a del centro de la misma. Los puntos B y B’ en que el
eje no focal corta a la elipse también se denominan vértices de la elipse.
Al segmento [AA’] se le llama eje mayor y al segmento [BB’] eje menor de la elipse.
Construcción por puntos de la elipse.

Para obtener puntos dela elipse de focos F y F’ y eje mayor [AA’] podemos seguir
el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera P del segmento [FF’] y
luego se trazan las circunferencias de centros F y F’ y radios respectivamente iguales a AP y A’P. Dichas circunferencias son secantes y los puntos de intersección M y
N son puntos de la elipse.

Geometría analítica. Colección Mosaicos.

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9/ Las cónicas.Otros puntos se pueden
obtener a partir de M y N
por simetrías respecto a los
ejes o al centro.

Elipsógrafo con brazo articulado.

El método del jardinero.

Tomemos una cuerda y pasémosla por una
argolla de diámetro un poco mayor que el de
(E)
un marcador. Clavemos luego, mediante dos
M
tachuelas, la cuerda en el pizarrón en dos
puntos marcados F y F’ cuya distancia FF’
sea menor que la longitudde la cuerda.
F’
O
F
Probar que si introducimos el marcador en la
argolla y lo movemos de manera que se deslice sobre el pizarrón conservando siempre
tensa la cuerda queda dibujada una elipse de
focos F y F’.
En efecto MF+ MF’ es igual a la longitud de la cuerda y por lo tanto constante.
Luego la figura trazada representa una elipse de focos F y F’ y parámetro la longitud de la cuerda.
Losjardineros se valen de este método para trazar canteros elípticos: clavan dos
estacas y atan entre ambas una cuerda suficientemente grande y se procede como en
el ejercicio planteado.
Circunferencias directoras I.

Sean dos puntos F y F’ del plano y un número real 2a mayor
que la distancia FF’ = 2c y la circunferencia (C) de centro F
y radio 2a.
Hallemos el lugar geométrico de los puntos M que son centrosde circunferencias que pasan por F’ y son tangentes
interiores a la circunferencia (C).

T

(C)

M
F’

F

Por hipótesis FT es 2a y por ser radios MT = MF’ entonces:
MF + MF’ = MF + MT = 2a.
M es pues un punto de la elipse E de focos F y F’ y parámetro 2a.
Recíprocamente si M es un punto de la elipse (E), entonces la circunferencia de centro F y radio 2a es tangente a la circunferencia de centro Mque pasa por F’.

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Geometría analítica. Colección Mosaicos.

9/ Las cónicas.
En efecto, tenemos que MF + MF’ = 2a por hipótesis, de donde MF = 2a − MF’ lo
que expresa que las dos circunferencias son tangentes interiormente, que es lo que
se quería demostrar.
Las circunferencias de centro en cada foco y radio el parámetro 2a se llaman circunferencias directoras de la elipse y, por lo que...