Ecuacion de laplace

ECUACION DE LAPLACE

INTRODUCCION

• En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

• Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como laastronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

DEFINICION

← La ecuación de Laplace se define como:

← Δu = 0 donde Δ es el operador laplaciano, y u; son funciones reales o complejas.

← La ecuación de Laplace se trata de un caso particular de la ecuación de Poisson:

← Δu = f cuando la función f es cero. A las funciones soluciones de la ecuación deLaplace se les llama funciones armónicas.

← En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

← Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como laastronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

OPERADOR LAPLACIANO
En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace queestudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.
Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable.

Problemas relacionados con el operador laplaciano
En física, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación deondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica.
En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson.
Mientras que en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula dala energía cinética de la misma.
En matemáticas, las funciones tales que su laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja.
Además el operador laplaciano es el ingrediente básico de la teoría de Hodge y los resultados de la cohomología de Rham.CONDICIONES DE FRONTERA
• PROBLEMA DE DIRICHLET
• El problema de Dirichlet consiste en hallar una función armónica dados sus valores en la frontera de un dominio acotado. Esto es:
• hallar una función u con primera y segunda derivadas continuas en D y continua en la frontera de D
• Δu = 0 en D en la frontera de D para cierta función continua en la frontera de D.
• Comoconsecuencia del principio fuerte del máximo de las funciones armónicas se tiene que la solución del problema de Dirichlet si existe es única.

EJEMPLO
Supongamos que se trata de hallar la temperatura de estado estable u(x, y) en una placa rectangular con bordes aislados.

[pic]

• De las 3 primeras condiciones de frontera se puede ver q X’(O)=0,

X’(a) = 0 y Y(0) = 0

• Si derivamos X secumple q C2 es igual a 0 y en consecuencia,

X= C1 cos λx; y al derivar esta ecuación suponiendo claro q X=a se cumple que –C1λsenλ a = 0.

Esta condición se cumple cuando λ=0 o cuando λa=nπ o λ=nπ/a, n=1,2,... No obstante sin olvidar que cuando λ=0 significa que X’’=0 por lo q su solucion general seria X=C1 + C2x, en este caso las condiciones de frontera de X’(0) = 0, X’(a)= 0...