Ecuacion de laplace

Ecuación de Laplace

1

Ecuación de Laplace
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace. Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, laelectrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

Definición
En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función de variables reales x, y, y z, tal que En coordenadas cartesianas
Pierre-Simon Laplace

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

donde

esel operador de Laplace o "laplaciano"

que también se escribe como:

donde

es la divergencia, y

es el gradiente

o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde

también es el operador de Laplace.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas. Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si la ecuación seescribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz. La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

Ecuación de Laplace

2

Condiciones decontorno o frontera
Problema de Dirichlet
El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste de hallar una solución en algún dominio tal que es sobre su contorno o frontera igual a una función

determinada:

Como el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor, una Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones de contorno de interpretación física de esteproblema Dirichlet: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sin(5*θ) es lo siguiente: fijar la temperatura sobre el contorno del dominio de acuerdo a una especificación determinada de la condición de contorno. La temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia más. La distribución de la temperatura en el interior será entonces la solucióncorrespondiente al problema de Dirichlet.

Problema de Neumann
Las condiciones de contorno de Neumann para la ecuación de Laplace no especifica la función en sí mismo sobre el contorno , pero sí su derivada normal. Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto es conocido en el contorno de :

Las soluciones de la ecuación de Laplace son funcionesarmónicas; son todas analíticas dentro del dominio donde la ecuación se satisface. Si cualesquiera de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homogénea), su suma (o cualquier combinación lineal) es también una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición, es muy útil, por ejemplo, las soluciones de problemas complejos puedenconstruirse simplemente sumando las soluciones.

Ecuación de Laplace en dos dimensiones
La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

Funciones analíticas
Las partes reales e imaginarias de un función analítica en los complejos satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si , y si

entonces la condición necesaria para que Cauchy-Riemann:

sea analítica es que se satisfagan lasecuaciones de

Ecuación de Laplace

3

donde ux es la primera derivada parcial de u con respecto a x. Entonces

Por lo tanto u satisface la ecuación de Laplace. Un cálculo similar demuestra que v también satisface la ecuación de Laplace. A la inversa, dada una función armónica, es la parte real de una función analítica, forma de probarlo es: entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann se...