Ecuacion

Ecuación de Laplace


Pierre-Simon Laplace

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.
Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchasotras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.
Definición
En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función de variables reales x, y, y z, tal que
En coordenadas cartesianas

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de lasiguiente manera:

donde es el operador de Laplace o "laplaciano"
que también se escribe como:

donde es la divergencia, y es el gradiente
o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde también es el operador de Laplace.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.
Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si laecuación se escribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.
La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

Problema de Dirichlet
El problema deDirichlet para la ecuación de Laplace consiste de hallar una solución en algún dominio tal que sobre su contorno o frontera es igual a una función determinada:

Como el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor, una interpretación física de este problema es lo siguiente: fijar la temperatura sobre el contorno del dominio de acuerdo a una especificación determinada de la condición decontorno. La temperatura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el que dicha temperatura en cada punto del dominio no cambia más. La distribución de la temperatura en el interior será entonces la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

El problema de Dirichlet. Principio de superposici¶on
Un problema de valor en la frontera en que se busca una soluci¶on de una ecuaci¶onen
derivadas parciales de tipo el¶³ptico, como la ecuaci¶on de Laplace, r2u = 0, dentro
de una regi¶on tal que u adopte valores prescritos en el contorno total de esta regi¶on,
se llama problema de Dirichlet.
Un problema de Dirichlet en una regi¶on rectangular del plano se puede resolver
f¶acilmente separando variables cuando se especi¯can condiciones homog¶eneas para
dos fronterasparalelas; sin embargo el m¶etodo de separaci¶on de variables no se aplica
a un problema de Dirichlet con condiciones no homog¶eneas en los cuatro lados del
7. La ecuaci¶on de Laplace 49
rect¶angulo. Para salvar esta di¯cultad se descompone el problema
Problema Dirichlet no homog¶eneo
8>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>:
@2u
@x2 +
@2u
@y2 = 0; 0< x < a; 0 < y < b
u(0; y) = F(y) x = 0 0 < y < b
u(a; y) = G(y) x = a 0 < y < b
u(x; 0) = f(x) 0 < x < a y = 0
u(x; b) = g(x) 0 < x < a y = b
en dos problemas, cada uno con condiciones homog¶eneas en la frontera, en lados
paralelos
Primer problema: homog¶eneo en los bordes laterales
8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:
@2u
@x2 +
@2u
@y2 = 0; 0 < x < a; 0 < y < b
u(0; y) = 0 x = 0 0 < y < b
u(a; y) = 0 x = a 0 < y < b
u(x; 0) = f(x) 0 < x < a y = 0
u(x; b) = g(x) 0 < x < a y = b
Segundo problema: homog¶eneo en las bases
8>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>:
@2u
@x2 +
@2u
@y2 = 0; 0 < x <...