ecuaciones de segundo grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 1.- Una persona tiene 25 metros de malla para construir un corral rectangular. La persona piensa usar una pared existente para delimitar el corral. a) Exprese el área como función de x b) Calcule las dimensiones del corral que tiene área máxima.
Solución:
a) Observe que el área esta dada por A = xy En este caso viene expresada en términos de las dosvariable x y y . Sin embargo podemos sustituir y por una expresión que depende de x, debido a la relación entre x, y y la cantidad de malla a utilizar. Esta relación viene dada por
25 =2x + y
De aquí podemos expresar y en función de x, despejando
25 – 2x = y
Sustituyendo y en el área, tenemos finalmente A como función de
A(x) = x ( 25 - 2x )
Conviene observa que el Dom. A = (0 ,12.5)
b) En a) se obtuvo que el área es una función cuadrática de x. La llevamos a la forma canónica.
A(x) = 25x - 2x2
Como a < 0, entonces A(x) alcanza un máximo en Vx , él cual está dado por

Pasamos ahora a calcular la dimensión y, la cual puede ser obtenida de la relación 25 – 2x = y
Al sustituir x por 6.25 obtenemos y = 12.5.
Concluyendo las dimensiones que hacen máxima elárea son (6.25)(12.5). Adicionalmente podemos decir que el área máxima es 78.125m2, la cual se obtuvo evaluando la función Área en 6.25.
Ejemplo 2.- Un distribuidor adquiere balones a un costo de 4 dólares la unidad. Cuando el precio de venta es de 10 dólares se venden 4000 unidades en un mes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 1 dólar en el precio se venderán 200balones menos.
a)¿Qué precio se deberá fijar con el fin de obtener la utilidad máxima?
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución:
Una variable muy frecuente para modelar este problema es x = Número de incrementos de 1dolar.
Así q = número de balones vendidos por mes puede ser expresado en términos de x como:
q = 4000 - 200x
Observe que si x = 0 no hay incrementos y las ventas son 4000,si x=1 entonces se dejan de vender 200 balones, esto es 3800, así puede continuar. En términos de x, el precio está dado por
P = 10 + 1 (x)
En este caso obtendremos la utilidad total en base a la utilidad por balón
Utilidad por cada balón = precio - costo unitario
Así Utilidad por cada balón = (10 + 1 (x)) – 4 = 6 + x
y la utilidad total en términos de x está dada por
Utilidadtotal = cantidad por utilidad por cada balón = (4000 - 200x) ( 6 + x)
Como la utilidad total es una función cuadrática con a < 0 existe un máximo y se localiza en el vértice. Escribimos la utilidad en la forma canónica para así emplear la fórmula
U(x) = 24000 + 2800 x - 200x2
Entonces el máximo se alcanza en

a) Recordemos que x representa incrementos de 1 dólar, no el precio. El preciodonde se alcanza la máxima utilidad es: P = 10 + 7 = 17
b) El valor máximo de la utilidad es: 33800 dólares
Ejemplo 3.- El costo total por producir q unidades de un artículo está dado por
a) ¿Cuál es el nivel de producción en que el costo promedio por unidad es mínimo?
b) ¿Cuál es el costo promedio mínimo?
Ejemplo 4.- Se estima que en un terreno si se plantan 200 árboles denaranjas, la producción promedio será de 300 naranjas por árbol y que por cada árbol menos que se siembre la producción aumentará en 3 naranjas por árbol.
a)¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máxima cosecha posible del terreno?
b) ¿Cuál es la producción máxima posible?

La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Seconocieron algoritmos para resolverla en Babilonia.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación poli nómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente,...