ecuaciones dierenciales

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Marcelo Romo Proaño
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo IV
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR
4.1

COEFICIENTES GENÉRICOS Y ANÁLISIS DE DERIVADAS EN
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS:

Los procesos de derivación de funciones específicas, y muy particularmente las propiedades
de esas derivadas,pueden utilizarse para orientar la definición de potenciales soluciones a las
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (en acápites posteriores se analizarán las
ecuaciones diferenciales lineales generales de orden superior cuya solución arranca por el
análisis de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas asociadas). Esas posibles
soluciones, en su forma más genérica, se derivan yreemplazan en la ecuación diferencial
obteniéndose expresiones algébricas equivalentes con formato tradicional, que nos permiten
definir las soluciones exactas.
A manera de revisión básica de definiciones, la forma general de una ecuación diferencial
lineal homogénea es la siguiente:

a 0 ( x) ⋅

dn y
dx

n

+ a 1 ( x) ⋅

dn − 1 y
dx

n −1

+ ..... + a n − 2 ( x ) ⋅

d2y
dx

2+ a n −1 (x ) ⋅

dy
+ a n ( x ).y = 0
dx

Problema Resuelto 1:
Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea:
dy
+y=0
dx

Otra manera de representar la ecuación diferencial es:
y′ + y = 0

Solución:
El enfoque para resolver este tipo de ecuaciones es bastante diferente a lo expuesto en los
problemas anteriores debido a la presencia simultánea de la función “y” y suprimera derivada
“y′ ”, a la vez que no existe expresión alguna con la variable independiente “x”. En lugar de
realizar integraciones directas se procederá a analizar las propiedades de las derivadas de
algunas funciones específicas (en lugar de métodos deductivos emplearemos métodos
inductivos de razonamiento).
En el presente caso se requiere encontrar una función “y” tal que su derivada“y′ ” sea similar
a la propia función, pero con signo cambiado para que se anulen entre sí al reemplazarlas en
la ecuación diferencial (y′+y=0).
En principio existen algunas funciones básicas cuyas derivadas son o pueden ser muy
similares a las funciones originales:
y = Sen( x ) , y = Cos( x )

y = ex,

y = e− x

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I-2005

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Marcelo RomoProaño
Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Por el momento prescindiremos del Senh(x) y Cosh(x) seno hiperbólico de “x” y coseno
hiperbólico de “
x” que, por generar derivadas similares a las propias funciones, también
podrían incorporarse a las funciones antes expuestas, aunque con ello incurriríamos en una
redundancia de combinaciones lineales como se explicará en problemasposteriores.
Como referencia, para orientar la resolución de la ecuación diferencial, se puede obtener la
primera derivada de cada una de las 4 funciones propuestas:
y = Sen( x ) → y′ = Cos( x )
y = Cos( x ) → y′ = −Sen( x )

y = ex

→ y′ = e x

y = e− x

→ y′ = −e − x

De las 4 expresiones, la función exponencial “ -x ” (la cuarta función) es la única cuya
y=e
derivada es la propiafunción cambiada de signo, por lo que al reemplazarla en la ecuación
diferencial original sería solución de la misma.
La forma general de la posible solución es:
y = A.e −Bx
Donde:
B:
-B:

Constante con valor positivo
Constante con valor negativo

Obteniendo la primera derivada de “y” respecto a “x”:
y′ = −A.B.e − Bx
La ecuación diferencial original es:
y′ + y = 0

Reemplazando lafunción “y” y su derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene:
′

64 744 6 y 4
4y 8
47 8
− Bx
( −A.B.e
) + ( A.e − Bx ) = 0

Factorando:
A.e − Bx ( −B + 1) = 0
Para que el producto de 3 factores sea nulo se requiere que al menos uno de ellos sea nulo
(A=0, o e -Bx =0, o –B+1=0).
Si “A” tuviera valor cero, no existiría función “y” (sería una función nula “y=0”), por lo que...