Ecuaciones dif 2

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

I.- Funciones L.I

Un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),...,yn(x)} es linealmente independiente
( L.I.) en un intervalo ( a, b) si y sólo si para cualquier x perteneciente al intervalo se cumple que la única combinación lineal de las n funciones que da la función nula es la que tiene todos los coeficientes iguales a cero.

En símbolos:II.-Wronskiano

Wronskiano de un conjunto de n funciones {y1(x), y2(x),..., yn(x)}, derivables hasta el orden (n-1) , es el determinante de la matriz formada por las funciones y sus (n -1) primeras derivadas

W(y1,....,yn) =



III.- Teorema

Si el wronskiano de n funciones es no nulo para todo x perteneciente al intervalo (a,b) entonces las n funciones son L.I en ( a,b).En efecto:
Planteemos una combinación lineal nula de las n funciones. Debemos probar que los coeficientes de tal combinación sólo pueden ser “0”.

Para hallar los n coeficientes debemos formar u sistema de n ecuaciones con n incógnitas.Para ello derivamos la combinación lineal (n-1) veces:

C1 y1 + C2 y2 +...+Cn yn = 0
 C1 y’1 + C2 y’2 +...+Cn y’n = 0
 ............................
C1 y1(n-1) + C2y2(n-1) + ...+Cn yn(n-1) = 0

Éste, para cada valor de x ,es un sistema lineal y homogéneo respecto de las incógnitas C1, C2,...,Cn.

El determinante de los coeficientes es, para cada valor de x, el wronskiano de las n funciones, que por hipótesis es distinto de cero. Por lo tanto el sistema tiene solución única que es la trivial. Es decir, los Ci son nulos, para cualquier i,y las funciones resultan linealmente independientes.


IV.-Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden.

Responden a la forma:

ao(x).y” + a1(x). y’ + a2(x).y = Q(x) con ai(x) continuas.

Si los ai son constantes, la ec. se llama ecuación diferencial de segundo orden lineal con coeficientes constantes. Si Q(x) = 0, se dice que es homogénea o con segundo miembro nulo o reducida.IV.1.-Propiedad

Si y1(x) e y2(x) son S.P. de ao.y” + a1.y’ + a2.y = 0

entonces cualquier combinación lineal de ellas también es solución.

En efecto: Sea y = C1y1 +C2y2, resulta

y’= C1y’1 +C2y’2

y”= C1y”1 +C2 y”2 , reemplazando en la ec. dif. se tiene:

ao.(C1y”1 +C2 y”2) + a1.( C1y’1 +C2 y’2)+a2.( C1y1 +C2 y2 )==C1.(ao.y”1+ a1.y’1+ a2.y1) + C2.(ao.y”2+ a1.y’2+ a2.y2)=0

0 pues y1 es S.P 0 pues y2 es S.P


Luego y = C1y1 +C2y2 es solución de la ecuación diferencial

Además si y1 e y2 son S.P.L.I de la ecuación diferencial, ao.y”+ a1.y’+ a2.y = 0, cualquier otra solución se puede escribir como combinación lineal de ellas.

En efecto:

Sean y1 e y2 dos S.PL.I de ao.y”+ a1.y’+ a2.y = 0 y sea “y” otra S.P. cualquiera que satisface las condiciones



Se quiere que: yo =c1 y1(xo) + c2. y2(xo)
y’o =c1 y’1(xo)+ c2. y’2(x0)

Es un sistema lineal homogéneo con solución única ya que el determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano de dos funciones L.I.

Por lo tanto la S.G. de laecuación diferencial. de segundo orden lineal reducida , se obtiene como combinación lineal de dos S.P de la misma.


V.-Para encontrar S.P. de la ecuación diferencial de segundo orden, lineal, con coeficientes constantes y segundo miembro nulo.

Proponemos una solución de la forma y = er x

Veremos que valor debe tomar “r”para que y sea solución de la ecuación diferencial

ao.y” + a1.y’+ a2.y = 0
Obtenemos y’e y” y reemplazamos en la ecuación diferencial

y’= r.erx ; y”= r2. erx

Debe ser, sacando e rx de factor común: e r x.( ao.r2 + a1.r + a2) = 0.

Como el primer factor no puede ser cero, debe cumplirse:
ao.r2 + a1.r + a2 = 0 (Ecuación característica)

Al resolver esta ecuación pueden presentarse distintas situaciones:

a) Que tenga raíces reales y...