Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Si z = f(x,y) es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces su diferencial total, denotada por dz o df, se define como:

df= ∂f∂xdx+ ∂f∂ydy

Ahora bien si f{x,y) = c, donde c es una constante, entonces
∂f∂xdx+ ∂f∂ydy=0

Si f(x,y) = x4 + 3x2y2 + y3 = c, entonces df = 0, es decir4x3+6xy2dx+6x2y+3y2dy=0

o bien

dydx= -4x3+6xy26x2y+ 3y2

Se puede notar que la ecuación diferencial anterior no es separable ni tampoco homogénea, decimos que es exacta y su solución es x4 + 3x2y2 + y3 — c.

De manera general hacemos la siguiente definición.
Una ecuación diferencial es exacta si puede escribirse en la forma df = 0, es decir

Mx,ydx+Nx,ydy=0

∂f∂xdx+ ∂f∂ydy=0Equivalentemente, la ecuación diferencial anterior es exacta si existe una función f tal que

∂f∂x=Mx,y y ∂f∂y=N(x,y)
Función Potencial
Función Potencial

Fx,y=Mx,yi+Nx,yj
Función Campo Vectorial Conservativo
Función Campo Vectorial Conservativo

La solución de una ecuación diferencial exacta está dada implícitamente por la ecuación f(x,y) = c, donde c esuna constante arbitraria.

En este contexto, resolver la ecuación diferencial exacta es equivalente a encontrar la función potencial del campo.

El siguiente teorema proporciona un criterio simple para determinar si una ecuación diferencial es exacta. Su aplicación queda clara en los ejemplos posteriores.

Teorema: Sean las funciones M, N, My y Nx continuas en la región rectangular R.Entonces la ecuación

Mx,ydx+Nx,ydy=0

es exacta en R si y sólo si

∂M∂yx,y= ∂N∂x(x,y)

para todo punto (x, y) en R.

Despues de analizar si la ecuación es exacta y se cumple la condición lo siguiente es resolverla y para eso utilizaremos la siguiente fórmula:

fx,y=M(x,y)dx+ Nx,y- ∂∂yM(x,y)dxdy

Ejemplo 1:
2xydx+x2-1dy=0

1° Verificar

∂M∂y2xy=2x ∂N∂xx2-1=2x ∴ ∂N∂x= ∂M∂y Es exacta

2° Utilizar la formula

fx,y=M(x,y)dx+ Nx,y- ∂∂yM(x,y)dxdy

fx,y=2xydx+ x2-1- ∂∂y2xydxdy

fx,y=x2y+ x2-1- ∂∂y(x2y)dy

fx,y=x2y+ x2-1- x2)dy

fx,y=x2y+ -1dy

x2y-y+C

Ejemplo 2:

dydx= x- y22xy+ y ∴ x- y2dx-2xy+ydy=0

1° Verificar

∂N∂x-2xy+y=-2y ∂M∂yx-y2=-2y ∴ ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta

2° Utilizar la formula

fx,y=(x-y2)dx+ -2xy+y-∂∂y(x-y2)dxdy

fx,y=x22-xy2+-2xy+y- ∂∂y(x22-xy2)dy

fx,y=x22-xy2+-2xy+y+2xy)dy

fx,y=x22-xy2+-ydy

x22-xy2-y22+C
Ejemplo 3:

4x3y3+1xdx+3x4y2-1ydy=0

1° Verificar

∂M∂y4x3y3+1x=12x3y2 ∂N∂x3x4y2-1y=12x3y2 ∴ ∂N∂x = ∂M∂y Es exacta

2° Utilizar la formula

fx,y=4x3y3+1xdx+ 3x4y2-1y- ∂∂y4x3y3+1xdxdy

fx,y=x4y3+lnx+3x4y2-1y- ∂∂y(x4y3+lnx)dy

fx,y=x4y3+lnx+3x4y2-1y - 3x4y2dyx4y3+lnx-lny+C

Ecuaciones Diferenciales Exactas Por Factor Integrante

Si la ecuación diferencial

Mx,ydx+Nx,ydy=0

no es exacta, pero existe una función μ(x,y), tal que al multiplicar por μ(x,y), la ecuación resultante

μ(x,y)Mx,ydx+μ(x,y)Nx,ydy=0

es exacta, entonces se dice que /i(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial

Debemos observar que la solución de lasegunda ecuación es la solución de la primera y que en general no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación no exacta.
Sin embargo, si M(x,y) y N(x,y) cumplen ciertas condiciones entonces los factores integrantes son conocidos.

CASO I. Factor integrante dependiente de x. Suponga que

∂M∂y-∂N∂xN

es una función que depende únicamente de x, la cual denotaremos por f(x).Entonces,
un factor integrante para la ecuación dada es

μx= epxdx

CASO II. Factor integrante dependiente de y. Si se tiene que

∂N∂x-∂M∂yM

es una función de y únicamente, denotada por f(y), entonces

μy= epydy

es un factor integrante para la ecuación diferencial

También queremos advertir que al aplicar las fórmulas anteriores estamos interesados en obtener solamente un factor...