ecuaciones diferenciales:introduccion

Ecuaciones

Diferenciales

Conceptos Básicos
Resumen Preparado por:

Rosa De Peña

Ecuación Diferencial: Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Ecuación Diferencial Ordinaria: Es una ecuación diferencial que contiene una
sola variable independiente.
Ej:
dA
1)
= − kA
dt

d 2 y dy
2)
−
+6y = 0
dx 2 dx
Ecuación diferencial en derivadas parciales: Es una ecuación diferencial que
contiene una o más de una variable independiente.
Ej:
∂u
∂f
∂v
1)
2)
= 8y
= − Solución Particular de Ecuación Diferencial
∂y
∂x
∂x

Orden de una ecuación diferencial: Se define por la mayor derivada obtenida

de la función primitiva.
Ej:
5
d3y
⎛ dy ⎞
+ 6⎜ ⎟ − 3 y = e x
dx 3
⎝ dx ⎠Ecuación diferencial de orden tres o de tercer orden

Grado de una ecuación diferencial: Es el grado algebraico que se obtiene en

la derivada de mayor orden de una ecuación diferencial.
Ej:
5
d3y
⎛ dy ⎞
+ 6⎜ ⎟ − 3 y = e x
Ecuación diferencial de primer grado
3
dx
⎝ dx ⎠

Forma implícita de una ecuación diferencial:
F (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n) ) = 0
Ej: 4x y ’ + y = xForma explícita o normal de una ecuación diferencial:
Dn y = f (x, y, y ’, y ’’, ..., y(n – 1))
Ej:

y' =

x− y
4x

1

Ecuación Diferencial Lineal:
dny
d ( n −1) y
dy
An ( x) n + A( n −1) ( x) ( n −1) + ... + A1 ( x) + A0 ( x) y = g ( x)
dx
dx
dx
La variable dependiente y sus derivadas son de primer grado.
Cada coeficiente solo depende de x.
x es la variable independiente.
Ej:4xy’ + y = x
Ecuación lineal respecto a y.

Solución de una ecuación diferencial ordinaria: Es una función φ(x) definida
en un intervalo I, que posee al menos n derivadas contínuas en I, que al
sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n la reducen en una
identidad. Desprovista de derivadas o diferenciales y contiene un número de
constantes esenciales atendiendo al orden dela ecuación diferencial que
corresponde.
Representa una familia infinita de curvas.
Es decir, si F (x, y, y’, ..., y(n) ) = 0

y = φ(x) es solución en I.
F (x, φ(x) , φ’(x), ..., φ (x) ) = 0
∀x ∈ I.
(n)

Intervalo de definición: Intervalo de validez, intervalo de existencia. Es el

dominio de la solución.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.
a)Ecuación Diferencial de Variables Separables.

dy
= g ( x ) h( y )
dx
b) Ecuaciones de la forma:
Mediante: z = Ax + By + C

dy
= G ( Ax + By + C )
dx
se logra la separación de variables.

c) Función homogénea. F ( t x , t y ) = t α f ( x, y )
α = Número real, f es una función homogénea de grado α.
La ecuación diferencial:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Es homogénea si N, M sonfunciones homogéneas del mismo grado.
Mediante: y = v x
ó
x = v y se logra la separación de variables.
2

d) Ecuación de coeficientes lineales

dy a1 x + b1 y + c1
=
dx a2 x + b2 y + c2
Cuando:
d.1)
c1 = 0 , c2 = 0 la ecuación es homogénea
a1 b1
la ecuación se resuelve mediante la
d.2)
=
=k
a2 b2
sustitución z = a1 x + b1 y + c1
ó
z = a1 x + b1 y
d.3)

a1 b1
para hallar lasolución se hace una traslación de ejes
≠
a2 b2
mediante
x=u+h
y= w+k

e) Diferencial total: z = f (x, y) ; dz =

∂f
∂f
dx + dy
∂x
∂y

Ecuación Diferencial Exacta:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 . Es exacta si

∂M ∂N
=
∂x
∂y

F(x, y) = ∫ M ∂x + φ (y) = ∫ N ∂y + φ (x) = C
φ (y), φ (x) son funciones a determinar.

Ecuación Diferencial Inexacta:
∂M ∂N
≠
;
∂y
∂x

µ ( x) = eM y ≠ Nx

⎛ M y −Nx ⎞
⎟ dx
⎟
N
⎠

∫⎜
⎜
⎝

µ ( y) = e

⎛ N x − My ⎞
⎟ dy
⎟
M
⎠

⎜
∫⎜
⎝

Factor integrante es una función que transforma una ecuación diferencial
inexacta en exacta.
µ (x) , µ ( y )
representan factores integrantes.

3

f) Ecuación Diferencial Lineal:
A1 (x)

dy
+ A0 (x) y = g (x)
dx
µ (x) = e

∫

Es decir: e.1 )

P (x) dx

µ (x) y...