Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Yoel E. Guti´rrez T. e

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Introducci´n o
dn−1 y dy dn y + an−1 (x) n−1 +, . . . , +a1 (x) + a0 (x)y = g(x), n dx dx dx

Definici´n 1.1 Una ecuaci´n diferencial lineal de orden n es de la forma o o an (x) o m´s brevemente a an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) +, . . . , +a1 (x)y + a0 (x)y = g(x), donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 y g dependens´lo de x y no de y o (1.2) (1.1)

1.1

Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) +, . . . , +a1 (x)y + a0 (x)y = g(x) y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 . (1.3)

Para una ecuaci´n diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n es o

Recu´rdese que, para un problema como ´ste, se busca una funci´n definida en alg´ne e o u intervalo I que contenga a x0 , y satisfaga la ecuaci´n diferencial y las n condiciones iniciales o especificadas en x0 : y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 . Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad) Sean an (x), an−1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) y g(x) funciones continuas en un intervalo I, y sea an (x) = 0 para cada x del intervalo. Si x0 es cualquier punto enI y si y0 , y1 , . . . , yn−1 son n´meros arbitrarios, el u PVI (1.3) tiene una y s´lo una soluci´n y(x) en el intervalo I. o o Otro tipo de problema es resolver una ecuaci´n diferencial lineal de segundo orden o o mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est´n especificadas en puntos a distintos. Un problema como dy d2 y a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = g(x) dx dx y(a) = y0 , 1y(b) = y1 ,

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se llama problemas de valores en la frontera. Los valores y(a) = y0 y y(b) = y1 , se denominan condiciones de la frontera. Una soluci´n del problema anterior es una o funci´n que satisface la ecuaci´n diferencial en alg´n intervalo I que contiene a a y b, cuya o o u representaci´n gr´fica pasa porlos puntos (a, y0 ) y (b, y1 ). o a Para una ecuaci´n diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera o podr´ ser ıan y (a) = y0 , y(b) = y1 y(a) = y0 , y (a) = y0 , y (b) = y1 y (b) = y1 ,

en donde y0 y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones s´lo o son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: α1 y(a) + β1 y (a) = λ1α2 y(b) + β2 y (b) = λ2 . Aun cuando se satisfagan las condiciones del Teorema (1.1), un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, una o ninguna.

1.2

Ecuaciones homog´neas e
dn y dn−1 y dy + an−1 (x) n−1 +, . . . , +a1 (x) + a0 (x)y = 0 dxn dx dx

Una ecuaci´n lineal de orden n de la forma o an (x) (1.4)

se llama homog´nea, mientras que una ecuaci´n e o an (x) dn ydn−1 y dy + an−1 (x) n−1 +, . . . , +a1 (x) + a0 (x)y = g(x) n dx dx dx (1.5)

donde g(x) nos es id´nticamente cero, se llama no homog´nea. e e Al estudiar la ecuaci´n no homog´nea (1.5), es necesario considerar a la par la ecuaci´n o e o homog´nea (1.4). Bajo estas condiciones se habla de (1.5) como una ecuaci´n completa y e o de (1.4) como la ecuaci´n reducida asociada a ella. o En elsiguiente teorema veremos que la suma o superposici´n de dos o m´s soluciones o a de una ecuaci´n diferencial lineal homog´nea tambi´n es una soluci´n. o e e o y1 , Teorema 1.2 (Principio de superposici´n, ecuaciones homog´neas) Si o e y2 , . . . , yk son k soluciones de la EDO lineal homog´nea de orden n (1.4) en un intervalo e I, la combinaci´n lineal o y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + . . . + ck yk (x)en donde c1 , c2 , . . . , ck son constantes arbitrarias, tambi´n es una soluci´n cuando x est´ e o a en el intervalo.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior N´tese que: o

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1. Un m´ltiplo constante y(x) = c1 y1 (x) de una soluci´n y1 (x) de una EDO lineal u o homog´nea tambi´n es una soluci´n. e e o 2. Una EDO lineal homog´nea siempre tiene...