Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior
Páginas: 3 (736 palabras)
Publicado: 15 de marzo de 2015
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE
MÉXICO
FACULTAD DE QUÍMICA
PRGRAMA EDUCATIVO
INGENIERÍA QUÍMICA
“ECUACIONES DIFERENCIALES”
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de orden superiorIntegrantes
Contreras Villegas Manuel Iván
Labra Alva Heidi Joana
Lorenzo Gonzalez Omar
Profesor
Ing. José Francisco Barrera Pichardo
Fecha de entrega: 13 de Octubre de 2014
1.Sistemas Masa-Resorte
1.1Movimiento libre
El movimiento de una masa en un sistema libre sin amortiguamiento no es más que
una onda sinusoidal, o lo que se llama un movimiento armónico simple.
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMAFÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
= 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
+ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
+ 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 𝑚𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑘𝑦
Centrándonos en el caso de 𝑏 = 0
y 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0
𝑑2𝑦
2𝑦 = 0
+
𝜔
𝑑𝑡 2
la ecuaciónse reduce a:
Y cuya solución general es
𝑦 𝑡 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
Donde tenemos:
Frecuencia angular = 𝜔 =
𝑘/𝑚 (radianes/segundo)
Frecuencia natural = 𝜔/2𝜋 (ciclos/segundo)
Periodo =2𝜋/𝜔 (segundo)
1.2 Movimiento libre amortiguado
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMA FÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+ 2𝜆
+ 𝜔2 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝛽
Donde 2𝜆 = 𝑚 ,
𝑘
𝜔2 = 𝑚
Movimientosobreamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 > 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 𝑒
𝜆2 −𝜔2 𝑡
+ 𝑐2 𝑒 −
𝜆2 −𝜔2 𝑡
Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.
Movimiento críticamenteamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 = 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 + 𝑐2 𝑡
Movimiento subamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 < 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 𝑐𝑜𝑠 𝜆2 − 𝜔 2 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜆2 − 𝜔 2𝑡
El movimiento descrito por esta ecuación es oscilatorio: pero debido al
coeficiente 𝑒 −𝜆𝑡 , las amplitudes de vibración → 0 cuando 𝑡 → ∞.
1.3 Movimiento forzado
Se consideran las vibraciones deun sistema masa-resorte al aplicarle una fuerza
externa.
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMA FÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑚 2 +𝑏
+ 𝑘𝑦 = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Una solución a esta...
MÉXICO
FACULTAD DE QUÍMICA
PRGRAMA EDUCATIVO
INGENIERÍA QUÍMICA
“ECUACIONES DIFERENCIALES”
Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de orden superiorIntegrantes
Contreras Villegas Manuel Iván
Labra Alva Heidi Joana
Lorenzo Gonzalez Omar
Profesor
Ing. José Francisco Barrera Pichardo
Fecha de entrega: 13 de Octubre de 2014
1.Sistemas Masa-Resorte
1.1Movimiento libre
El movimiento de una masa en un sistema libre sin amortiguamiento no es más que
una onda sinusoidal, o lo que se llama un movimiento armónico simple.
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMAFÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝐹𝑒𝑥𝑡
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
= 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
+ 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
+ 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 𝑚𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑘𝑦
Centrándonos en el caso de 𝑏 = 0
y 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0
𝑑2𝑦
2𝑦 = 0
+
𝜔
𝑑𝑡 2
la ecuaciónse reduce a:
Y cuya solución general es
𝑦 𝑡 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
Donde tenemos:
Frecuencia angular = 𝜔 =
𝑘/𝑚 (radianes/segundo)
Frecuencia natural = 𝜔/2𝜋 (ciclos/segundo)
Periodo =2𝜋/𝜔 (segundo)
1.2 Movimiento libre amortiguado
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMA FÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝑑2𝑥
𝑑𝑥
+ 2𝜆
+ 𝜔2 𝑥 = 0
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝛽
Donde 2𝜆 = 𝑚 ,
𝑘
𝜔2 = 𝑚
Movimientosobreamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 > 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 𝑒
𝜆2 −𝜔2 𝑡
+ 𝑐2 𝑒 −
𝜆2 −𝜔2 𝑡
Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.
Movimiento críticamenteamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 = 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 + 𝑐2 𝑡
Movimiento subamortiguado
𝜆2 − 𝜔2 < 0
Solución general correspondiente
𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜆𝑡 𝑐1 𝑐𝑜𝑠 𝜆2 − 𝜔 2 𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝜆2 − 𝜔 2𝑡
El movimiento descrito por esta ecuación es oscilatorio: pero debido al
coeficiente 𝑒 −𝜆𝑡 , las amplitudes de vibración → 0 cuando 𝑡 → ∞.
1.3 Movimiento forzado
Se consideran las vibraciones deun sistema masa-resorte al aplicarle una fuerza
externa.
LA DESCRIPCIÓN DE ESTE SISTEMA FÍSICO ES MEDIANTE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑚 2 +𝑏
+ 𝑘𝑦 = 𝐹0 𝑐𝑜𝑠𝛾𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Una solución a esta...
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