Ecuaciones Diferenciales- Variacion de Parametros ejercicios

1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

ECUACIONES DIFERENCIALES Y ORDINALES
NOMBRES:
Jonathan Garc´ıa - Jhon Uquillas
CARRERA:Ingenier´ıa Electr´
onica
NRC: 1351

DEBER 3
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDEN SUPERIOR
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el m´etodo de variaci´on de par´aremtros.
1) y − 3y + 2y =

1
1+e−x

Ecuaci´on Caracter´ıstica
r2 − 3r+ 2 = 0
(r − 2)(r − 1) = 0
r1 = 2 r2 = 1
Solucion Homog´enea:
yh = c1 ex + c2 e2x
y1 = ex ; y2 = e2x
Suponemos:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = u1 ex + u2 e2x
WRONSKIANO:
W (y1 , y2 ) =

ex e2x
= 2e3x − e3x = e3x
ex 2e2x

Sistema de Ecuaciones:
u1 ex + u2 e2x = 0
u1 ex + u2 (2e2x ) = 1+e1−x
Aplicando CRAMER
0
u1 =

1
1+e−x
e3x

e2x
2e2x

2x

= − (1+ee−x )e3x = − ex1+1

2
u1 =

− ex1+1 dx;

Sustitucion m= ex

u1 =

dm
− m(1+m)
;

Aplicando Fracciones Parciales:

u1 =

dm
m+1

dm
m

−

= ln(m + 1) − ln(m);

dm = ex dx

dx =

dm
m

Como m = ex

u1 = ln(ex + 1) − x

u2 =

ex
ex

0
1
1+e−x
e3x

=

ex
e3x (1+e−x )

=

1
ex (ex +1)

u2 =

1
ex (ex +1) dx;

Sustitucion: m = ex ;

u2 =

dm
dx;
m2 (1+m)

Aplicando Fracciones Parciales:

1=

A
m+1

+

B
m

+

C
;
m2

dx =

dm
m

A = 1; B = −1; C = 1Reemplazando:
u2 =

1
( m+1
−

1
m

+

1
)dm
m2

= ln(m + 1) − ln(m) −

1
m;

Como:m = ex

u2 = ln(ex + 1) − x − e−x
Soluci´on Particular:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = (ln(ex + 1) − x)ex + (ln(ex + 1) − x − e−x )e2x
Solucion General:
yg = c1 ex + c2 e2x + ex ln(ex + 1) − xex + e2x ln(ex + 1) − xe2x − ex
yg = C1 ex + c2 e2x + ex ln(ex + 1) − xex + e2x ln(ex + 1) − xe2x
2) y − 2y + 2y = ex sec(x)
Ecuaci´onCaracter´ıstica
r2 − 2r + 2 = 0
r1,2 =

√
2± 4−8
2

r1,2 = 1 ± i
Solucion Homog´enea:
yh = c1 ex cos(x) + c2 ex sen(x)
y1 = ex cos(x); y2 = ex sen(x)
Suponemos:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = u1 ex cos(x) + u2 ex sen(x)
WRONSKIANO:
W (y1 , y2 ) =

ex cos(x)
ex sen(x)
x
− sen(x)) e (sen(x) + cos(x))

ex (cos(x)

3
W (y1 , y2 ) = e2x [cos(x)sen(x) − sen(x)cos(x) + cos2 (x) + sen2 (x)] = e2x
Sistema deEcuaciones:
u1

ex (cos(x)

u1 ex cos(x) + u2 ex sen(x) = 0
− sen(x)) + u2 ex (sen(x) + cos(x)) = ex sec(x)

Aplicando CRAMER

u1 =

0
ex sen(x)
ex sec(x) ex (sen(x) + cos(x))
e2x

= −e

2x tan(x)

e2x

= −tan(x)

−tan(x)dx

u1 =

u1 = ln|cos(x)|

u2 =

ex cos(x)
0
− sen(x)) ex sec(x)

ex (cos(x)

u2 =

e2x

=

e2x (1)
e2x

=1

1dx

u2 = x
Soluci´on Particular:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = ln|cos(x)|excos(x) + xex sen(x)
Solucion General:
yg = c1 ex cos(x) + c2 ex sen(x) + ln|cos(x)|ex cos(x) + xex sen(x)
3) y − 2y + y =

ex
x

Ecuaci´on Caracter´ıstica
r2 − 2r + 1 = 0
(r − 1)(r − 1) = 0
r1,2 = 1
Solucion Homog´enea:
yh = c1 ex + c2 xex
y1 = ex ; y2 = xex
Suponemos:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = u1 ex + u2 xex
WRONSKIANO:
W (y1 , y2 ) =

ex
xex
x
x
e e (1 + x))

W (y1 , y2 ) = xe2x + e2x − xe2x = e2x4
Sistema de Ecuaciones:
u1 ex + u2 xex = 0
u1 ex + u2 ex (x + 1) =

ex
x

Aplicando CRAMER
xex
+ 1)

0
u1 =
u1 =

ex
x

ex (x
e2x

2x

= − ee2x = −1

−1dx

u1 = −x

u2 =
u2 =

ex
ex

0
ex
x

e2x

=

e2x
xe2x

=

1
x

1
x dx

u2 = ln|x|
Soluci´on Particular:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = −xex + ln|x|xex
Solucion General:
yg = c1 ex + c2 xex − xex + ln|x|xex
yg = c1 ex + C2 xex + ln|x|xex
√
4) 4y − 4y + y= ex/2 1 − x2
Ecuaci´on Caracter´ıstica
4r2 − 4r + 1 = 0
(r − 12 )2 = 0
r1,2 =

1
2

Solucion Homog´enea:
yh = c1 ex/2 + c2 xex/2
y1 = ex/2 ;

y2 = xex/2

Suponemos:
yp = u1 y1 + u2 y2
yp = u1 ex/2 + u2 xex/2
WRONSKIANO:
W (y1 , y2 ) =

ex/2
xex/2
1 x/2
ex/2 (1 + x2 )
2e

W (y1 , y2 ) = x2 ex + ex − x2 ex = ex

5
Sistema de Ecuaciones:
u1 ex/2 + u2 xex/2 = 0 √
u1 21 ex/2 + u2 ex/2 (1 + x2 ) =ex/2 1 − x2
Aplicando CRAMER

u1 =
u1 =

0
xex/2
√
ex/2 1 − x2 ex/2 (1 + x2 )
ex

= −e

xx

√

1−x2
ex

√
= −x 1 − x2

√
−x 1 − x2 dx

u1 = 13 (1 − x2 )3/2

u2 =
u2 =

ex/2
√0
1 x/2
x/2
e
1 − x2
2e
ex

√

1 − x2 dx;

=

√
ex 1−x2
ex

=

√

1 − x2

Sustitucion: x = sen(θ); dx = cos(θ)dθ

Reemplazando:
1 − sen2 (θ)cos(θ)dθ

u2 =

+ 14 sen(2θ) =
√
u2 = 12 arcsen(x) + x2 1 − x2
u2 =

cos2 (θ)dθ =

θ...