Guia de ejercicios Ecuaciones diferenciales

Ejercicios 3
Ecuaciones Diferenciales 9009
Ecuaciones lineales homog´neas de segundo orden.
e

En cada uno de los problemas del 1 al 7, a) verifique que y1 y y2 son soluciones de la
ecuaci´ndiferencial; b) utilice el wronskiano para demostrar que y1 y y2 son linealmente
o
independientes; c) escriba la soluci´n general de la ecuaci´n diferencial; y d) obtenga la
o
o
soluci´n unica delproblema de valor inicial.
o ´
(1)

y − k 2 y = 0 ; y1 (x) = cosh(kx) , y2 (x) = senh(kx) ; y(0) = 1 , y (0) = 0

(2)

y + k 2 y = 0 ; y1 (x) = sen(kx) , y2 (x) = cos(kx) ; y(π) = 0 , y (π) = 1(3)

y + 4 y − 12 y = 0 ; y1 (x) = e2x , y2 (x) = e−6x ; y(0) = 1 , y (0) = −1

(4)

y + 11 y + 24 y = 0 ; y1 (x) = e−8x , y2 (x) = e−3x ; y(0) = 2 , y (0) = −4

(5)

y − y − 6 y = 0 ;y1 (x) = e−2x , y2 (x) = e3x ; y(−1) = 3 , y (−1) = 6

(6)

y + 11 y − 42 y = 0 ; y1 (x) = e3x , y2 (x) = e−14x ; y(0) = −5 , y (0) = 0
7
16
y − y + 2 y = 0 ; y1 (x) = x4 , y2 (x) = x4 ln(x) ;y(1) = 2 , y (1) = 4
x
x

(7)

En cada uno de los problemas del 8 al 17, obtenga una segunda soluci´n de la ecuaci´n
o
o
diferencial que sea linealmente independiente con la soluci´n dada enel intervalo. Luego
o
escriba la soluci´n general.
o

(8)

y −

(9)

y −

(10)

y −

(11)

y +

(12)

y −

(13)

y +

(14)

y +

3
4
y + 2 y = 0 ; y1 (x) = x2 ; parax > 0
x
x
1
8
y − 2 y = 0 ; y1 (x) = x4 ; para x > 0
x
x
2x
2
y +
y = 0 ; y1 (x) = x ; para todo x
1 + x2
1 + x2
2x
2
y −
y = 0 ; y1 (x) = x ; para − 1 < x < 1
2
1−x
1 − x2
4x
4y +
y = 0 ; y1 (x) = x ; para todo x
2
1 + 2x
1 + 2x2
2
1
2
1−
y −
− 2 y = 0 ; y1 (x) = x ; para x > 0
x
x x
1
1
1
y + 1 − 2 y = 0 ; y1 (x) = √ cos(x) ; para x > 0
x
4x
x
1

2(15) y −

2 tan(x) +

2
x

y +

2 tan(x)
2
+ 2
x
x

y = 0 ; y1 (x) = x ; para 0 < x <

π
2

1
2
1
(x + 2) y −
+ 2 y = 0 ; y1 (x) = x ; para x > 0
x
x x
2x
2
(17) y +...