Ecuaciones empiricas

Ecuaciones empíricas
OBJETIVOS Obtener una ecuación empírica que relaciona la elongación, Δx, que sufre un resorte al aplicarle una fuerza dada. Determinar, de forma experimental, la constante elástica (k) de un resorte. 1. FUNDAMENTO 1.1 Ley de Hooke Si estiramos un resorte cíe modo que uno de sus extremos se mueva (mientras el otro lado permanece fijo) hasta la posición x, dicho resorteejercerá una fuerza sobre el agente que causa el estiramiento, cuyo valor es, con buena aproximación (1) donde k se denomina constante de fuerza del resorte. El signo menos indica que la dirección de la fuerza es siempre opuesta al desplazamiento. La fuerza ejercida por el resorte es una fuerza de restitución, y los resortes reales que se comportan según la ecuación (1), mientras no se estirendemasiado, se dicen obedecer la Ley de Hooke. 1.2 Ajuste de curvas En los experimentos físicos, con frecuencia surge el problema de obtener una dependencia funcional entre dos o más magnitudes físicas (variables), teniendo como base las mediciones de estas magnitudes físicas (datos experimentales). Esta dependencia funcional toma la forma de una ecuación, que por ser construida con los datos experimentalesse le denomina empírica. Así, el alargamiento que sufre un resorte como consecuencia de la aplicación de una fuerza, puede ser descrito mediante una ecuación empírica que exprese la relación entre estas dos magnitudes (alargamiento y fuerza). En este caso, tanto la fuerza aplicada como el alargamiento producido se pueden medir y constituyen, respectivamente, las variables independiente ydependiente de la dependencia funcional. Para cada valor elegido de la variable independiente le corresponde un valor de la variable dependiente , y la dependencia funcional que se obtiene en base a los diversos valores de y forma la ecuación empírica, la cual se expresa como: (2) Los pasos a seguir para obtener una ecuación empírica, de modo muy general, son: 1. Identificar el sistema físico y el modeloexperimental. 2. Elegir las magnitudes físicas a relacionar de forma adecuada. 3. Obtener los datos experimentales de las mediciones de las magnitudes anteriores. 4. Granear los datos experimentales en papel milimetrado, o mediante algún software ploteador. 5. Plantear la ecuación empírica que corresponda a la gráfica. 6. Si los puntos de la gráfica tienen un comportamiento lineal, entoncesplantear como ecuación empírica la siguiente: (3) y calcular los parámetros a y b con ayuda del método de mínimos cuadrados (o regresión lineal) . 7. Si los puntos de la gráfica tienen, otro tipo de comportamiento, donde el origen (0, 0) pertenece a la curva, debemos plantear una ecuación empírica de la forma de una potencia, si este fuera el caso. (4) y luego proceder a linealizar (4), aplicando ellogaritmo natural a ambos lados de la ecuación, es decir por último haciendo un adecuado cambio de variables
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obtenemos una ecuación empírica semejante a la ecuación (3), esto es (5) Al graficar y* en función de x*, los puntos deben tener un comportamiento lineal. Luego a y b se calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados. 1.2.1 Métodode mínimos cuadrados. Asumiendo que los puntos observados en la gráfica tienen una distribución lineal, se plantea una ecuación empírica de la forma, (3). El i-ésimo punto de esta recta está dado por (6) y para N puntos (número de datos) se tiene (7) a partir de (6) tenemos (8) y de (7) y (8) se puede obtener una expresión para calcular los parámetros a y b de la línea, esto es (9) (10) donde Parala ecuación (5) del paso siete se utilizan estas últimas expresiones pero con los valores de x* y y*. La desviación estándar de a y b se calculan en términos de la distribución de los valores y con las siguientes expresiones:

(11) Nota: La aplicación del método de mínimos cuadrados se restringe al caso especial de que toda incertidumbre se limita a la variable y, es decir, los valores de x se...