Ecuaciones homogeneas matematicas iii

Sistemas de ecuaciones lineales homog´neas e
Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homog´neas, que tienen constantes e iguales a cero. Mostrar que la soluci´n general de estos sistemas se puede escribir como o una combinaci´n lineal de n − r vectores, donde n es el n´mero de variables y r es el o u n´mero de filas no nulas en la forma escalonada. u 1. Definici´n (sistema deecuaciones lineales homog´neas). Un sistema de ecuao e ciones lineales homog´neas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de e constantes nula. 2. Observaci´n. Todo sistema de ecuaciones lineales homog´neas es compatible, porque o e el vector cero es una de sus soluciones, llamada soluci´n trivial. Para un sistema de o ecuaciones lineales hay dos casos posibles: (a) es compatibledeterminado, esto es, tiene s´lo la soluci´n trivial; o o (b) es compatible indeterminado, esto es, tiene por lo menos una soluci´n no trivial. o En cada ejemplo hay que determinar cual situaci´n tiene caso y describir el conjunto de o todas las soluciones. 3. Ejemplo. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales homog´neas: e   3x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 0; 8x1 − 5x2 − 4x3 + x4 = 0; .  −2x1 + x2 +6x3 + 7x4 = 0. Soluci´n. Como la columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones o elementales, no es necesario escribir la matriz aumentada. Es suficiente trabajar con la matriz de coeficientes.   R2 += −8R1   1 −2/3 1/3 4/3 3 −2 1 4 1 R ∗= 3 R += 2R1  8 −5 −4 1  −1− →  8 −5 −4 1  −− − − −− −3 − − → −2 1 6 7 −2 1 6 7  1  0 0  1  0 0 −2/3 1/3 4/3 1 −2/3 1/3 4/3 R3+= 1 R2 R ∗= 3 1/3 −20/3 −29/3  −2− →  0 1 −20 −29  − − − → −− − − 3− −1/3 20/3 29/3 0 −1/3 20/3 29/3  0 −13 −18 1 −20 −29  . 0 0 0   
R1 += 2 R2 3

p´gina 1 de 4 a

Aqu´ r = 2, n = 4, por eso el sistema es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 ı variables libres. Como los pivotes est´n en las columnas 1 y 2, expresamos x1 y x2 a trav´s a e de las variables x3 y x4 : x1 = 13x3+ 18x4 ; x2 = 20x3 + 29x4 . Soluci´n general: o  13x3 + 18x4  20x3 + 29x4  , x=   x3 x4  x3 , x4 ∈ R.

Notemos que la soluci´n general se puede expander en una combinaci´n lineal de dos o o vectores constantes:     13 18  20     + x4  29  , x = x3  x3 , x4 ∈ R.  1   0  0 1 Se dice que los vectores  13  20   u1 =   1 , 0   18  29   u2 =   0  1 lacomprobaci´n para u1 o 

son soluciones b´sicas de este sistema de ecuaciones. Hacemos a y u2 :     13 18 3 −2 1 4    8 −5 −4 1   20 29   1 0  −2 1 6 7 0 1    39 − 40 + 1 + 0 54 − 58 + 0 + 4 =  104 − 100 − 4 + 0 144 − 145 + 0 + 1  =  −26 + 20 + 6 + 0 −36 + 29 + 0 + 7

 0 0 0 0 . 0 0

p´gina 2 de 4 a

4. Ejemplo.   −2x1 + 4x2 + 5x3 = 0; 5x1 + x2 − 3x3 = 0;  6x1 − x2 + 4x3 = 0.Soluci´n. o    −2 4 5 R ↔R2  5 1 −3  −1− →  −− 6 −1 4    1 9 7 R ∗= 2  0 22 19  −3− →  −− 0 −55 −38

   5 1 −3 1 9 7 R2 += 2R1 R += 2R2 R += −6R  −1− − →  −2  −3− − −1 −2 4 5 4 5 −−− − − −→ 6 −1 4 6 −1 4    1 9 7 1 9 7 R += 5R2 0 22 19  −3− − →  0 22 19  . −−− 0 −110 −76 0 0 19

Ahora la matriz del sistema es escalonada, r = 3 = n. Por eso el sistema es compatibledeterminado, esto es, tiene una soluci´n unica, x = 0. o ´ En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobaci´n para x = 0. Ser´ m´s imo ıa a portante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3 renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del sistema es igual a 3), pero en este momento del curso no tenemos m´todos para comprobarlo. e 5. Ejemplo. x1 + 2x2 − 4x3= 0; 2x1 + 7x2 + 3x3 = 0. Soluci´n. o 1 2 −4 2 7 3 1 2 −4 0 1
11 3

−2− − −1 − − −→ −2− − −1 − − −→
R += −2R

R += −2R

1 2 −4 0 3 11 1 0 − 34 3 11 0 1 3

−−→ − −3 .

R2 ∗=

1

Aqu´ r = 2, n = 3, r < n, por lo tanto el sistema es compatible indeterminado. ı x1 =
34 x; 3 3

x2 = − 11 x3 . 3 La soluci´n general se puede escribir en forma: o  34    x 34 3 3   x3   x = ...