Ecuaciones Homologas

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN
• Partimos de la ecuación de recurrencia

y buscamos soluciones que sean progresiones geométricas:
Suponemos y sustituimos

• Podemos simplificar esta ecuación en la forma

de donde, si , deducimos
Llamamos a esta ultima ecuación la ecuación característica de la recurrencia.
Tenemos ahora tres casos:
1. Las raíces de la ecuacióncaracterística son reales y distintas
Sean las raíces.
 son, para valores arbitrarios de las constantes Ci, soluciones de la ecuación de recurrencia (1). Comprobarlo sustituyendo.
• La suma de las dos soluciones anteriores también es una solución. Lo comprobamos sustituyendo.
• Hemos obtenido una solución que depende de dos constantes arbitrarias.
Todas las soluciones están comprendidas en la fórmula:Demostración:
Si suponemos dados los valores iniciales, a0 y a1, de la solución, el resto de la sucesión queda unívocamente determinado, por recurrencia y por ser la ecuación de orden 2, por estos dos valores (igual que en el caso de Fibonacci).
Sustituyendo n = 0, 1 en (2) obtenemos

Como suponemos que a0, a1, r1 y r2 son conocidos, vemos que (3) es un sistema lineal de dos ecuaciones condos incógnitas.
Su determinante es y, por tanto, el sistema tiene solución única.
Hemos visto, entonces, que toda solución de (1) puede ser dada como caso particular de (2) para una elección adecuada, la dada por la solución de (3), de las constantes C1 y C2.
2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales Llamemos r0 a la única raíz de la ecuación característica.
Ladiscusión es en este caso similar a la anterior, salvo que debemos usar

Las comprobaciones necesarias para ver que, en este caso también, todo funciona bien son tan parecidas que las omitimos.
3. Las raíces de la ecuación característica son números complejos conjugados
Supongamos que las raíces son:

Podemos tratar este caso en la misma forma que el primero, de forma que obtenemos que la solución esEsta solución es satisfactoria, salvo si observamos que la solución está expresada en términos de funciones de variable compleja.
Si escribimos las raíces en forma polar, , donde podemos tomar como definición ei_ :
  podemos reescribir la solución como

con . De esta forma la solución es combinación lineal de dos funciones de variable real y son los coeficientes los que son númeroscomplejos.
Ejemplo:
Volvemos a la ecuación de Fibonacci
Su ecuación característica es , con raíces y
 . Son raíces reales distintas.
La solución general es

Sustituyendo n = 0, 1 en esta expresión podemos obtener los valores de las constantes que corresponden a valores iniciales dados. Por ejemplo, para
F0 = 0 y F1 = 1 se obtiene .
¿Que valor tiene, aproximadamente, Fn para n grande?
Como 0< r2 < 1, para n muy grande el segundo sumando de la expresión exacta obtenida para Fn tiende a cero (i.e. se puede hacer tan pequeño como queramos). Entonces, para n muy grande, se obtiene
.
ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE ORDEN ARBITRARIO
Consideramos la ecuación de recurrencia de orden k

con ecuación característica, obtenida en la misma forma que para k - 2,

Supongamos, para simplificarque la ecuación característica tiene k raíces reales, r1, r2, . . . , rk, distintas o no. Podemos entonces escribir la ecuación característica en la forma
Teorema La solución general de la ecuación de recurrencia (8) es una combinación lineal de términos de la forma:

con ni - 1 términos por cada raíz ri.
b.
c. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS
La resolución de ecuaciones nohomogéneas es, en general, bastante más difícil que para el caso homogéneo.
Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en
ocasiones, funciona.
Suponemos una ecuación no homogénea

y llamamos ecuación homogénea asociada a

Supongamos que conocemos una solución, ,de la ecuación no homogénea
(9), a la que llamamos solución particular.
Teorema Toda solución de (9) se...