Ecuaciones no lineales

Semana 5 - Clase 13

Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

Ecuaciones diferenciales no lineales 1. Ecuaciones diferenciales no lineales y el factor integrador

Del mismo modo, y con la misma idea, podemos incorporar el factor integrador µ(x, y) para extender la idea a ecuaciones que no sean, necesariamente lineales. As´ para una ecuaci´n diferencial ı o que pueda serescrita como d [f (x, y)] = 0 es decir d [f (x, y)] = ∂f (x, y) ∂f (x, y) dx + dy = µ(x, y)Q(x, y)dy + µ(x, y)P (x, y)dx = 0 ∂x ∂y ⇔
?

µ(x, y)Q(x, y)dy + µ(x, y)P (x, y)dx = 0

Entonces tendremos que la condici´n necesaria y suficiente para que una ecuaci´n diferencial sea o o exacta es:  ∂f (x, y)   µ(x, y)Q(x, y) ⇔   ∂y ∂ 2 f (x, y) ∂ ∂ ∂ 2 f (x, y) ≡ ⇔ [µ(x, y)Q(x, y)] ≡ [µ(x, y)P (x, y)]⇒  ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y  ∂f (x, y)   µ(x, y)P (x, y) ⇔ ∂x y, obviamente, esta condici´n de integrabilidad depender´ del µ(x, y) que propongamos. o a Si µ(x, y) = µ(x) entonces la condici´n es o dµ(x) ∂Q(x, y) ∂P (x, y) Q(x, y)+µ(x) ≡ µ(x) dx ∂x ∂y con lo cual, si se cumple que 1 Q(x, y) ∂P (x, y) ∂Q(x, y) − ∂y ∂x = f (x) = 1 dµ(x) µ(x) dx ⇒ µ(x) = e
R dx f (x)

⇒

1 dµ(x) 1 = µ(x) dx Q(x, y)∂P (x, y) ∂Q(x, y) − ∂y ∂x

podremos deteriminar el factor integrador. Una vez identificado procedemos a integrar, formalmente f (x, y)
y

f (x, y) = µ(x)
y0

du Q(x, u)+S(x)

⇒

∂f (x, y) ∂ = µ(x)P (x, y) ≡ ∂x ∂x
y

y

µ(x)
y0

du Q(x, u) + S(x)

y finalmente, una vez m´s a
y

µ(x)P (x, y) =
y0

du

∂µ(x)Q(x, u) dS(x) + ∂x dx

⇒ µ(x)P (x, y) =
y0

du

∂µ(x,u)P (x, u) dS(x) + ∂u dx

con lo cual
x y x

S(x) =
x0

du µ(u, y0 )P (u, y0 )

⇒ f (x, y) = µ(x)
y0

du Q(x, u)+
x0

du µ(u, y0 )P (u, y0 )+C

H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜

1

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de orden 1

Ejemplo y =− Esta ecuaci´n no es exacta, ya que: o [ex − sen(y)]dx+cos(y)dy = 0 ⇒

ex − sen(y) . cos(y)

   P (x, y) = ex − sen(y)   Q(x, y) = cos(y) 

⇒

∂Q ∂P =0= = − cos(y) . ∂x ∂y

Podemos ver que el arreglo: f (x) = 1 Q(x, y) ∂P (x, y) ∂Q(x, y) − ∂y ∂x = − cos(y) − 0 = −1 , cos(y)

entonces, el factor integrante es µ(x) = e Por lo tanto, la ecuaci´n o e−x [ex − sen(y)] dx+e−x cos(y)dy = 0 ⇒    P (x, y) = 1 − e−x sen(y)   Q(x, y) = e−x cos(y) ⇒ ∂P ∂Q = = −e−x cos(y) . ∂x ∂y
R dx f (x)

= e−

R

dx

= e−x .

es exacta. Queda como ejercicio resolver esta ecuaci´n diferencial. o Si µ(x, y) = µ(y) entonces la condici´n queda como o µ(y) ∂Q(x, y) du(y) ∂P (x, y) ≡ P (x, y)+µ(y) ∂x dy ∂y ⇒ 1 dµ(x) 1 = µ(y) dx P (x, y) ∂Q(x, y) ∂P (x, y) − ∂x ∂y ,

con lo cual si se cumple que 1 P (x, y) ∂Q(x, y) ∂P (x, y) − ∂x ∂y = f (y) = 1dµ(y) µ(y) dy ⇒ µ(y) = e
R dy f (y)

y podremos deteriminar el factor integrador. Ejemplo y =−

xy . 1 + x2

Esta ecuaci´n no es exacta, ya que: o    P (x, y) = xy  xydx + 1 + x2 dy = 0 ⇒   Q(x, y) = 1 + x2 H´ctor Hern´ndez / Luis N´nez e a u˜ 2

⇒

∂Q ∂P = 2x = = x. ∂x ∂y

Universidad de Los Andes, M´rida e

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Tema 2: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias deorden 1

Podemos ver que el arreglo: f (y) = 1 P (x, y) ∂Q(x, y) ∂P (x, y) − ∂x ∂y = 2x − x 1 = , xy y

entonces, el factor integrante es µ(y) = e Por lo tanto, la ecuaci´n o xy 2 dx + y + yx2 dy = 0 ⇒   P (x, y) = xy 2  Q(x, y) = y + yx2    ⇒ ∂Q ∂P = = 2xy . ∂x ∂y
R dy
1 y

= eln(y) = y .

es exacta. Queda como ejercicio resolver esta ecuaci´n diferencial. o Ejercicios 1. Demuestreque si µ = µ(z) donde z = xy, entonces el factor integrante viene dado por µ(z) = e donde:
R dz f (z)

,

∂P (x, y) ∂Q(x, y) − ∂y ∂x f (z) = yQ(x, y) − xP (x, y) y 3 + xy 2 + y . x3 + x2 y + x

Con este resultado resuelva la ecuaci´n: o y =−

2. Demuestre que si µ = µ(z) donde z = x/y, entonces el factor integrante viene dado por µ(z) = e donde: y2 f (z) = Resuelva la ecuaci´n: o...