ecuaciones

Capítulo 1

Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

Bidder S. Calapuja Sambrano

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.)

F ( x, y, y ', y '',...., y ( n) )  0 , se llama ecuación diferencial de orden n
(*)
Donde y  f ( x) es la función desconocida, x la variable independiente y y ', y '',..., y ( n )
son las derivadas de y .
2

2

5

d4y  d3y 
 dt 4    dt 3  y  3t

 


;

Orden 4 Grado 2

 d2y 
 dy 
3
 2   1  
 dx 
 dx 

2

Orden 2 Grado 4

F  x, y, y '  0

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

F  x, y, y ', y ''  0

Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Una ecuación diferencial ordinaria se llama lineal si tiene la forma:
a0 ( x) y ( n )  a1 ( x) y ( n1)  ....  an1 ( x)y ' an ( x) y  F ( x)

Donde a0 ( x)  0 , y ( n ) , y ( n 1) , … , y ' e y son de primer grado y F ( x) , a0 ( x) , a1 ( x) ,
… , an ( x) son funciones que dependen solo de x .
Caso contrario se llamara E. D. O. no Lineal.

d2y
 cos y  0 ;
dx 2

yy '' 2 y '  x ;

Función no lineal

Coeficiente de y '' depende
de y
 No lineal de 2º Orden

 No lineal de 2º Orden

d2y y2  0
dx 2
Frado de y es 2

 No lineal de 3º Orden

Solución de una E.D.O.

y  f ( x) Es una solución de una E.D.O., si al reemplazarlo juntos con sus derivadas
en la E.D.O. esta la reduce a una identidad.
La solución y  0 se llama solución Trivial.
 Solución General: Una solución de tipo genérico, expresada con una o más
constantes. La solución general es un haz de curvas. Tieneun orden de infinitud de
acuerdo a su cantidad de constantes esenciales. Una constante corresponde a una
familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc.
 Solución Particular: Un caso particular de la solución general, en donde las
constantes recibe un valor específico.

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Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

Bidder S. CalapujaSambrano

 Solución Singular: Una función que verifica la ecuación, pero que no es un caso
particular de la solución general.
Obtener una E.D.O. a partir de la solución general.- Consiste en hallar la n-esima
derivada de la solución general, donde n es el número de constantes, y luego se
eliminan las constantes entre la solución general y todas las ecuaciones derivadas.
Solucionar o Integrar unaE.D.O.Consiste en:
1º
Hallar la solución general (si no nos dan condiciones iniciales).
2º

Si nos dan condiciones iniciales, hallar la solución particular que satisfaga las
condiciones iniciales dadas.

Problema de Valor Inicial: Dada una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy
 f ( x, y )
dx
sujeta a la condición inicial y  x0   y0 , donde x0 es un número en unintervalo I y

y0 es un número real arbitrario, se le llama Problema de Valor Inicial o Problema de
Cauchy.
Seguidamente daremos algunos métodos o procedimientos que debemos seguir para
resolver ciertos tipos de E.D.O.

I.

METODO DE SEPARACION DE VARIABLES

dy
 f ( x, y ) se puede escribir de la forma
dx

Si una E.D.O. de primer orden de la forma

dy
 g ( x)* h( x) ó M ( x)dx  N (x)dy  0 se dice que es una E.D.O. de primer orden;
dx
de variables separables, cuya solución se obtiene al integrar respectivamente:

h

1

( y)dy   g ( x)dx  c

 M ( x)dx   N ( x)dy  c

ó

De donde, si es posible, despejar y .
Resolver:
1)  x  4  y 4 dx  x3 ( y 2  3)dy  0

dy y 3  y 2  y

dx
x
xdy 1  4 y 2
3)

dx
3y

4)

dy
3x

3
dx  xy  5y 3 

5)

dy 1
 (1  y 2 ) x3
dx 8

2)

6) xdx  1  x 4 dy  x2 1  x4 dy

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Ecuaciones Diferenciales de Primer orden

II.

Bidder S. Calapuja Sambrano

ECUACIONES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES

dy
 f (ax  by  c) , donde a, b, c  R
(*)
dx
Se puede reducir a una ecuación de variables separables de la siguiente manera:
La ecuación

1º
2º...