ecuaciones

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Integración de simples ecuaciones diferenciales parciales

La solución general de la ecuación diferencial parcial de orden n contiene n funciones arbitrarias. Cualquiera solución obtenida de esta general solución por la elección particular de las funciones arbitrarias se llama una solución particular.

Ejemplo 1: Resolución de laecuación diferencial parcial
. (1)
Solución:
La ecuación (1) se puede escribir en la forma:.
Integramos con respecto a x manteniendo y como constante:
. (2)
Como la constante arbitraria depende de y, esto es la función F(y). Integramos (2) con respecto a y, manteniendo x constante:

La función arbitraria G depende de x. La integral de una función arbitraria esotra función arbitraria:
(3)

es la solución general de (1), contiene dos funciones arbitrarias, puesto que (1) es la ecuación diferencial parcial de 2do orden.
De (3) podemos obtener las soluciones particulares al poner, por ejemplo,
, :
;

 esto es la ecuación inicial (1).
De otra manera, por ejemplo,tenemos 2 condiciones iniciales de (1):
, .
Entonces de la solución general (3) y de la primera condición sigue:
,
,
. (4)
De 2da condición:
,
.
Usando (4) obtenemos la solución general deseada




Comprobación:





Ejemplo 2: resolver ecuación diferencial en derivadas parciales

Solución:

Escribimos la ecuación en forma:
Integramos con respecto a x.integramos esta ecuación con respecto a y.

La función arbitraria G depende de x. La integral de una función arbitraria es otra función arbitraria:

Tenemos la solución. Falta funciones arbitrarias.
Aplicando una de condiciones iniciales tenemos:

Sustituyendo G(x) en solución
Aplicando otra de condiciones iniciales recibimos:


La solución general :

Comprobación:Separación de variables (Método del producto)
No es método general para hallar las soluciones particulares. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función de x por una función de y como

a veces es posible convertir la ecuación diferencial parcial lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias.
Para hacerlo notemos que
, , y que, .

Ejemplo 3: Determine las soluciones producto de: .
Si , entonces la ecuación dada se transforma en . Dividimos entre 4XY, y con este separamos las variables:
o - constante de separación, independiente tanto de x como de y. Distinguimos 3 casos.

Caso1.
De la proporción obtenemos:
X´´ - 4X = 0 y Y´- Y = 0.
Sus soluciones son: y .
Así, unasolución particular de la ecuación inicial es:
u = XY = ,
en que y .

Caso 2.

 X´´ + 4X = 0 y
Soluciones: y .
Otra solución particular de la ecuación inicial es:
u = XY = ,
en que y .

Caso 3.
y
En este caso y , ,
en donde y .

Principio de superposición o linealidad

Si son soluciones de una ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL lineal homogénea,entonces la combinación lineal , en que , i = 1, 2, ..., k son constantes, también es una solución de esa ecuación en R. Al suponer que siempre haya un conjunto infinito de soluciones de una ecuación homogénea, se puede construir otra solución u, formando la serie infinita .


Clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden con dos variables independientesEn los temas anteriores, nuestra atención se ha centrado en encontrar soluciones generales de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ahora, nos interesará el estudio de otra clase de ecuaciones diferenciales, las llamadas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Estas ecuaciones surgen en relación con varios problemas físicos y geométricos cuando las funciones que intervienen dependen de...