ecuaciones

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Geometría Analítica

Unidad I

ECUACIONES

1.

ECUACIÓN
Es una igualdad de dos expresiones matemáticas donde existe por lo menos una
variable.

x  5  3x  1 ;
1.1

senx 

1
2

;

1 - lnx  1

CLASES DE ECUACIONES
Por su estructura
1.1.1 Ecuaciones Algebraicas
Ecuaciones Polinomiales:

x 3  2x2  1  0

se satisface para

x  -1

se satisfacepara

x 2

Ecuaciones Fraccionarias:

3x  1 1
  x2 - 3
6x 4
Ecuaciones Irracionales
3

3x  1  x 2  1   2x  4

se satisface para x  0

1.1.2 Ecuaciones Trascendentes
Ecuaciones Exponenciales

2 x 1  3x  2

se satisface para

x 2

Ecuaciones Trigonométricas
se satisface para

2sen2x cosx

x

π
2

Ecuaciones Logarítmicas

5log5x  10

sesatisface para

1

x  25

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Por su conjunto Solución
1.1.3 Ecuación compatible
Es toda ecuación que por lo menos tiene una solución.


Ecuación compatible determinada
1 3
(4x  1)(2x  3)  0

C.S. ; 
4 2



Ecuación compatible indeterminada
(5x  1)0  1

C.S. 2,3,4..... 
1,
.....

1.1.4 Ecuación incompatible
Es aquellaecuación que no tiene solución.
4
4
 2x  6 
x3
x 3

No existe algún valor que verifique la igualdad.
En esta parte centraremos nuestro estudio en las ecuaciones de tipo Polinomial y
fraccionaria.
1.2

ECUACIÓN POLINOMIAL
Aquella ecuación que presenta la siguiente forma general:

a 0 x n  a1 x n1  a2 x n2  ..........  an  0
.
Ejemplos:
 5x  1  0

Ecuación lineal o deprimer grado

 2x  3x  1  0
 x3 1  0

Ecuación cuadrática o de segundo grado
Ecuación cubica o de tercer grado

2

Raíz de un polinomio
Sea P(x) un polinomio no constante, diremos que “α” es una raíz de P(x)
si P(α)=0.
Ejemplos:


Si P(x)  x2  2 se observa que P( 2)  0
polinomio P(x).



Si P(x)  x3  2x  3 se observa que P(-1)  0
polinomio P(x).

2



2 es una raíz del

 1 es una raíz del

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Raíz múltiple de un Polinomio
k

Si “α” es una raíz de P(x) y (x - α) un factor de P(x); entonces decimos que α
es una raíz de multiplicidad k.
Ejemplos:


Si
1
2
5
3
2

es una raíz de multiplicidad 2.
es una raíz simple.
es una raíz de multiplicidad 4.

Si



1
1
5
1

P(x)  (2x 1)2 (3x  5)(x  2)4 se observa que

P(x)  (x  1)3 (5x - 1)(x  1)2 se observa que

es una raíz de multiplicidad 3.
es una raíz simple.
es una raíz de multiplicidad 2.

Nota

Número de
raíces de P(x)

Número de



soluciones de P(x)

1.2.1 Ecuaciones lineales
Llamadas también ecuaciones polinomiales de primer grado, tiene la
siguiente forma general:

Ax  B  0Ejemplo

;

A0

3x  1 x  1 x

 1
2
3
5
mx  n x
 p
 Resolver la ecuación en x
p
m
 Resolver la ecuación en x a(x  b)  b(x  a)  ab

 Resolver

3

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1.2.2 Ecuaciones Cuadráticas
Llamadas también ecuaciones polinomiales de segundo grado, tiene la
siguiente forma general:

Ax 2  Bx  C  0

A0

;

Ejemplo
 Resolver 3x2  2x  63  0
 Resolver 9x2  30x  25  0
Nota:

En toda ecuación cuadrática
cumple que

Ax 2  Bx  C  0

1. El conjunto solución C.S.  x 1

; x 2  donde

x1 

 B  B 2  4AC
2A

y

x2 

;

se

A0

 B  B 2  4AC
2A

Ejemplo
 Resolver x2  x  1  0
2. Teorema (de Cardano – Viete)



B
A
C
Producto de raíces: x 1  x 2 
A
Suma de raíces :x 1  x 2  -

Ejemplo
 Construir la ecuación cuyas raíces son x 1  2 y x 2 

1
2

3. Teorema (Análisis de las raíces) Δ  B 2  4AC


Si Δ  0

 x1 ; x 2 R 

x1  x2



Si Δ  0

 x1 ; x 2 R 

x1  x2



Si Δ  0

 x1 ; x 2 R 

x1  x2

Ejemplo Analizar el tipo de raíces que tiene la siguiente
ecuación
 En 2x2  3x  1  0
4

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