Ecuaciones

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

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Ecuaciones lineales: teoría básica
Un problema de valor inicial de n-ésimo orden
consiste en resolver la EDO lineal:
n

n 1

d y
d
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1    a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)
dx
dx
dx
sujeta a las n condiciones iniciales:

y ( x0 )  y0 , y( x0 )  y1 ,  , y ( n1) ( x0 )  yn 1
Resolverlo consiste en encontrar una función y(x)
definida en un intervalo I que contiene a x0, donde se
cumplen la ecuación y las condiciones iniciales.
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Existencia de una solución única
(Condición suficiente)

Sea an(x), an-1(x), …, a0(x), y g(x) continuas en I,
con an(x)  0 para todo x de I. Si x = x0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe
unasolución y(x) del problema anterior en I y es
única.
•Ejemplo: 3 y 5 y y 7 y 0, y (1) 0 , y(1) 0, y(1) 0
posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer orden
lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única solución en
cualquier intervalo que contenga a x = 1.
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• Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e–2x – 3x es la única
solución de
y" 4 y 12 x, y(0) 4, y ' (0) 1
La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos
funciones continuas, y a2(x) = 1 es distinto de 0 en
cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución
propuesta cumple la EDO y es única en I.
Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solución del PVI:

x 2 y 2 y 2 y 6,

y (0) 3 , y (0) 1

en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones. Observa que elcoeficiente de la derivada a2(x) = x2 más alta se hace cero en x = 0 y ese
punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las
condiciones iniciales.
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Problemas de valores en la frontera
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• Resolver:
sujeta a :

d y
dy
a2 ( x) 2  a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)
dx
dx
y (a )  y0 , y (b)  y1

se llama problema de valor
en la frontera (PVF) y a lasrestricciones se conocen
como condiciones de contorno
o condiciones en la frontera.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden ser también sobre las derivadas.
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Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solución de

x"16 x 0

(a) Supongamos el PVF



x  16 x 0 , x(0) 0 , x  0
 2
Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t.
Si x(/2) = 0, obtenemos 0 = 0independientemente
de c2. De modo que tenemos infinitas soluciones.




x  16 x 0 , x(0) 0 , x  0
8
tenemos que c1 = 0, c2 = 0:
x(t) = 0, solución única.

(b) Si



(c) Si x  16 x 0 , x(0) 0 , x  1
2

tenemos que c = 0, y 1 = 0
1

(contradicción). No hay solución.

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La siguiente EDO lineal de orden n:

dny
d n 1 y
dy
an ( x) n  an 1 ( x) n 1   a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)
dx
dx
dx
se dice que es no homogénea.

n
n 1
d
y
d
y homogénea.dy
si
g(x)
=
0
la
ecuación
es
an ( x) n  an 1 ( x) n 1    a1 ( x)  a0 ( x) y 0
dx
dx
dx

Veremos que para resolver una ecuación no homogénea tendremos que
resolver también la ecuación homogénea asociada.

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Operadores diferenciales
• Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se lellama operador
diferencial. Definimos a un operador diferencial de nésimo orden u operador polinominal como
L an ( x) D n  an 1 ( x) D n 1    a1 ( x) D  a0 ( x)
• El operador diferencial L es un operador lineal:
L{f ( x)   g ( x)} L( f ( x))   L( g ( x))
Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
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Principio de superposición
(ecuacioneshomogéneas)

Sean y1, y2, …, yk soluciones de una ecuación diferencial
homogénea de n-ésimo orden en un intervalo I. Entonces
la combinación lineal
y = c1y1(x) + c2y2(x) + …+ ckyk(x)
donde ci, i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias, también
es una solución en el intervalo.

Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas soluciones en
3
x
y  2 xy 4 y 0
(0, ) de...