ED orden superior variaci n par metros

COEFICIENTES INDETERMINADOS. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN.
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
an y n   an 1 y n 1    a2 y' 'a1 y'a0 y  g ( x)

Se debe hacer dos cosas:
- Encontrar la función complementaria yc de la ecuación homogénea asociada
- Encontrar alguna solución particular y p de la ecuación no homogénea asociada.
Resolver la ecuación diferencial, usandocoeficientes indeterminados.
a) y' '4 y'2 y  2 x2  3x  6
b) y' ' y' y  2sen3x
c) y' '2 y'3 y  4 x  5  6 xe 2 x
d) y' '5 y'4 y  8e x
Soluciones particulares de prueba.
g (x)

Forma de y p

1. k

A

2. x

Ax  B

3. x 2

Ax 2  Bx  C

4. x3

Ax 3  Bx 2  Cx  E

5. senkx

A cos kx  Bsenkx

6. cos kx

A cos kx  Bsenkx

7. e kx

Ae kx

8. xe kx

( Ax  B)ekx

9. x 2ekx

( Ax 2  Bx C )ekx

10. ekxsenkx

Ae kx cos kx  Be kxsenkx

11. x 2 senkx

( Ax 2  Bx  C ) cos kx  ( Ex 2  Fx  G)senkx

12. xe kx cos kx

( Ax  B)ekx cos kx  (Cx  E )ekxsenkx

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

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Resolver las E.D. usando coeficientes indeterminados.
1). y´´3 y'2 y  6

2). 4 y´´9 y  15

3). y´´10 y'25 y  30x  3

4). y´´ y'6 y  2x

1
4

5). y´´ y' y  x 2  2 x6). y´´8 y'20 y  100 x2  26 xe x

7). y´´3 y  48x2e3x

8). 4 y´´4 y´3 y  cos 2 x

9). y´´y'  3

10). y' '2 y'  2 x  5  e2 x

1
4

11) y' ' y' y  3  e

x

12). y´´16 y  2e4 x

2

13). y´´4 y  3sen2x

14). y´´4 y  ( x2  3)sen2 x

15). y´´ y  2 xsenx

16). y´´5 y'  2 x3  4 x2  x  6

17). y´´2 y'5 y  e4 x cos 2 x

18). y´´2 y'2 y  e2 x (cos x  3senx)

19).y´´2 y' y  senx  3cos 2x

20). y´´2 y'24 y  16  ( x  2)e4 x

21). y´´´6 y´´ 3  cos x

22). y´´´2 y´´4 y´8 y  6 xe 2 x

23). y´´´3 y´´3 y´ y  x  4e x

24). y´´´ y´´4 y´4 y  5  e x  e2 x

25). y4  2 y´´ y  ( x  1)2

26). y4  y´´ 4 x  2 xe  x

VARIACIÓN DE PARÁMETROS.
El procedimiento utilizado para resolver una E.D. lineal de primer orden es también aplicable
pararesolver una E.D. de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a
una ecuación diferencial de segundo orden
a2 ( x) y' 'a1 ( x) y'a0 ( x) y  g ( x) 1

Primero se escribe la ecuación en su forma estándar.

y' ' P( x) y'Q( x) y  f ( x)

P( x), Q( x)  f ( x) son continuas en I. Se halla yc , la solución general de la ecuación

homogénea. La solución particular y p para laecuación lineal de segundo orden tiene la forma
y p  u1 ( x) y1 ( x)  u2 ( x) y2 ( x)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

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Donde y1  y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea.
Como la ecuación busca determinar dos funciones desconocidas u1  u2 y se cuenta con una
sola ecuación, se deriva dos veces y p y se sustituye en la ecuación en forma estándarobteniendo las ecuaciones:
y1u'1  y2u'2  0
y'1 u'1  y'2 u'2  f ( x)

Este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver por la regla de Cramer
u '1 

Donde

W1
y f ( x)
 2
W
W

y
W  1
 y '1

y2 
y '2 


 0
W1  
 f ( x)

u '2 

W2 y1 f ( x)

W
W

y2 
y '2 

y
W2   1
 y '1

0 
f ( x)

Las funciones u1  u2 se obtienen integrando u'1  u'2
Resolver lasecuaciones utilizando variación de parámetros.
a) y´´4 y'4 y  ( x  1)e2 x
b) 4 y´´36 y  csc 3x
c) y´´ y 

1
x

Resolver cada ecuación diferencial por medio de variación de parámetros.
1. y´´ y  sec x
2. y´´ y  tan x
3. y´´ y  senx

4. y´´ y  sec  tan 

5. y´´ y  cos 2 x

6. y´´ y  sec2 x

7. y´´ y  cosh x

8. y´´ y  senh2x

9. y´´4 y 

e2 x
x

10. y´´9 y 

9x
e3 x

1
11.y´´3 y'2 y 
1  ex

ex
12. y´´2 y' y 
1  x2

13. y´´3 y'2 y  sene x 

14. y´´2 y' y  et arctan t

15. y´´2 y' y  et ln t

16. 2 y´´2 y' y  4 x

17. 3 y´´6 y'6 y  e x sec x

18. 4 y´´4 y' y  e

19. 4 y´´ y  xe

x

2

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios

y(0)  1

x

2

 1x 2
y´(0)  0
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20. 2 y´´ y' y  x  1

y(0)  1

y´(0)  0

21. y´´2 y'8 y  2e2...