4 Estimaci n de par metros e intervalos de confianza

Estimación de parámetros

Estimador insesgado
Definición 1:
Un estadístico  es un estimador insesgado
del parámetro  si y sólo si E =  .


En otras palabras, si el valor esperado
(promedio) de un estimador, es igual al
parámetro que se estima, entonces el
estimador es insesgado.
2

Estimador consistente
Definición 2:
Un estadístico  es un estimador
consistente del parámetro  si y sólosi:
lim P( |  | ≥ c) = 0, cuando n → ∞


o, en forma equivalente, si y sólo si:
lim P( |  | ≤ c) = 1, cuando n → ∞
3

Estimador eficiente


Si se tienen dos estimadores   y  
para un parámetro y Var( ) es
menor a la Var( ), entonces se dice
que el estimador   es más eficiente
que el estimador  .



En general se dirá que un estimador
es eficiente si es de varianza mínima.4

Estimador suficiente


Se dice que un estimador  es un
estimador suficiente si utiliza toda la
información de una muestra relevante
para la estimación del parámetro  de
la población; es decir, si todo el
conocimiento que se obtiene acerca de
, se puede obtener de la misma
manera sólo observando los valores
del estadístico .
5

Estimación de punto y de
intervalo


Si utilizamos el valorde un estadístico para
calcular un parámetro de una población, este
valor es una estimación de punto del
parámetro.



Una estimación de intervalo de un parámetro
 es un intervalo de la forma,  ≤≤ 
donde  y  dependen del valor de y de la
forma de su distribución muestral.
6

Estimación de intervalo


Como    son v. a., podemos
utilizar la distribución muestral de
 paraelegir    tal que para
cualquier probabilidad especificada
(1 - ), donde 0 ≤  ≤ 1, se tenga:
P (   ≤ ≤  ) = 1 – 
7

Teorema 1


Si Xm es el valor de la media de una muestra
aleatoria de tamaño n tomada de una
poblacional normal con la varianza
poblacional conocida 2 el intervalo de
confianza del (1-)100% para  está dado por:
Xm – a2 *( /√n) ≤  ≤ Xm +a*( /√n)De acuerdo al grado de confianza (1 - ), se
determina a de la tabla normal
estandarizada.
8

Intervalo de confianza para
medias


En virtud del Teorema central del
límite, el resultado anterior se
puede utilizar para muestras
aleatorias tomadas de poblaciones
no normales con la varianza 2
conocida, siempre que n sea lo
suficientemente grande, es decir,
para n mayores o iguales atreinta.
9

Ejercicio


Si una muestra aleatoria de
tamaño n = 20 tomada de una
población normal con la varianza
= 225 tiene la media Xm = 64,3;
construya el intervalo de confianza
del 95% de la media poblacional .

10

Teorema 2
Si Xm y S son los valores de la media y
la desviación estándar de una
muestra aleatoria de tamaño n
tomada de una poblacional normal
con la varianza poblacionaldesconocida 2, el intervalo de
confianza del (1-)100% para  está
dado por:
Xm- t(n*(S/√n) ≤  ≤ Xm+t(n*(S/√n)


11

Ejercicio


Un fabricante de software desea
determinar el tiempo de ejecución
promedio de un nuevo paquete
computacional. Si en 12 pruebas de
igual tamaño, él obtuvo un tiempo
medio de 66,3 segundos y una
desviación estándar de 8,4 segundos,
construya el intervalo deconfianza del
95% para la media poblacional .
12

Teorema 3


Si S2 es el valor de la varianza de una
muestra aleatoria de tamaño n
tomada de una poblacional normal,
el intervalo de confianza del (1)100% para 2 está dado por:
(n – 1) S2 ≤ 2 ≤ (n – 1) S2
nn
13

Ejercicio


En 16 recorridos de prueba, el
consumo de gasolina de un motor
experimental tuvo unadesviación
estándar de 2,2 litros. Construya un
intervalo de confianza del 99% para 2,
midiendo la variable real del consumo
de gasolina de este motor. Supongan
que los datos provienen de una
población normal.
14

Teorema 4
Si Xm1 y Xm2 son los valores de las medias
de muestra aleatoria independientes de
tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones
normales con las varianzas poblacionales
conocida 12 y...