Edo La Place

Contenido
INTRODUCCION 2
DEFINICIÓN. 2
Método de Laplace 2
La transformación de Laplace es una operación lineal 2
*Suma o resta 3
*Multiplicación de una cte. 3
*Diferenciación 3
*Teorema del Valor Inicial 3
Condición 1: Continúa por tramos 3
Condición 2: Orden Exponencial 4
Tabla de Transformadas 5
Aplicaciones de Laplace 6
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACEPARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S 8
PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN. 8
FORMA INVERSA DEL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION. 9
FUNCION ESCALÓN UNITARIO 9
FUNCIÓN EXPRESADA EN TÉRMINOS DE UNA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: 10
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE t 11
SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN. 11
Función expresada en términos defunciones escalón unitario 12
Forma alternativa del segundo teorema de traslación 13
Forma inversa del segundo teorema de traslación 13
DERIVADAS DE TRANSFORMADAS 14
DEMOSTRACION: 14
EJERCICIOS DE FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO: 16
EJERCICIO DEL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN. 17
EJERCICIOS SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN, FORMA ALTERNATIVA 18
EJERCICIO LA INVERSA DEL SEGUNDOTEOREMA DE TRASLACIÓN SEGÚN LA FÓRMULA (7) 18
EJERCICIOS DERIVADAS DE TRANSFORMADAS 19

INTRODUCCION

Al momento de evaluar la transformada de Laplace de una función f(t) se busca que dicha función f(t) no sea muy compleja, por ejemplo se deseamos hallar la transformada de Laplace de L{ett2 sen(t)} es necesario utilizar la integración por partes lo que resultaría una operación muy compleja.Por eso para ahorrar trabajo se utilizan unos teoremas que nos evitara la necesidad de recurrir a la definición de la Transformada de Laplace.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICIÓN.
Sea f (t) una función definida para t ≥ 0. Se define la transformada de Laplace de la función f como:



El uso del símbolo del límite se vuelve algo tedioso, por lo que se adoptará la notaciónpara indicar el


Se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral definitoria converge, el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación seconvierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Método de Laplace
Consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución , convirtiéndolas en problemas algebraicos simples, que puedan ser resueltos de manera sencilla.
La transformación deLaplace es una operación lineal
Cumple las siguientes propiedades:
*Suma o resta
La transformación de Laplace de la suma de dos funciones f1 (t) y f2 (t) es igual a la suma de las transformaciones de Laplace de estas funciones.
L {f1 + f2}= L {f1} + L {f2}

*Multiplicación de una cte.
La transformación de Laplace del producto de una constante c para la función f (t) es igual alproducto de esta constante por la transformación de Laplace de f (t).
L {c f] = c L {f]
Por lo tanto: L {c f1 + k f2}= c L {f1} +k L {f2}
*Diferenciación
Sea F(s) la transformada de Laplace de f (t), y f (0) es el límite de f (t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f (t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
En general,para las derivadas de orden superior de f (t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).
*Teorema del Valor Inicial
Si la Transformada de Laplace de f (t) es F(s), entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)
Si el límite existe
Condición 1: Continúa por tramos
La función f debe ser continua parte por parte para t ≥ 0 , es decir, si en cualquier...