Ejemplo

Método de cálculo

23

3.8. Ejemplo.
Se va a calcular la matriz de rigidez de un pórtico biempotrado a dos aguas
simétrico, de 25 m de luz, 5 m de altura de pilares y 10% de inclinación de cubierta.
Como predimensionamiento se eligen los siguientes perfiles metálicos:
Tabla 1.
Predimensionamiento del pórtico.
Perfil

Iz (cm4)

A (cm2)

Pilar

HEB 280

19270

131

Dintel

IPE 450

33740

98.8

YGYL

YL

XL

4

YL

XL

XL

XL

YL

2

3

5

1

6.25 m
5m

XG

25 m

Figura 20: Representación del pórtico ejemplo.

3.8.1. Consideraciones geométricas.
En la figura 20 se representa el pórtico del ejemplo, mostrándose los ejes locales de
cada barra y los ejes globales de la estructura. Con todo ello podemos realizar la siguiente
tabla, en la cual se determinan las longitudes de las barras delpórtico, así como el ángulo
que forman los ejes globales con los ejes locales de cada barra.
Tabla 2.
Datos geométricos del pórtico.
Barra

Longitud (cm)

α (º)

1-2

500

90

2-3

1256.23

5.711

3-4

1256.23

354.289

4-5

500

270

Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas

24

3.8.2. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas locales.
•

Barra 1-2

[K11 ]L

E⋅ A

0
0 

0
0
 L
  550200

12 ⋅ E ⋅ I 6 ⋅ E ⋅ I  

= 0
= 0
3884.83 971208 
3
2

L
L  
971208 323736000

6 ⋅E ⋅ I 4 ⋅E ⋅ I   0
0


L2
L 


[K12 ]L


 E⋅ A
0
0 
−
0
0

  − 550200
 L

12 ⋅ E ⋅ I 6 ⋅ E ⋅ I  

=
− 3884.83 971208 
=
−
0
0
3
2

L
L  
0
− 971208 161868000

6 ⋅E ⋅ I 2 ⋅E ⋅ I  
0
−


L2
L 


[K21 ]L


 E⋅ A
0
0

−
0
0

  − 550200
 L

12 ⋅ E ⋅ I
6 ⋅E⋅ I  

=
− 3884.83 − 971208 
=
−
− 2
0
0
3

L
L  
0
971208 161868000

6 ⋅E ⋅ I
2⋅E⋅ I  
0


L2
L



[K22 ]L

E⋅ A

0
0 

0
0

  550200
 L

12 ⋅ E ⋅ I
6 ⋅E⋅ I  

− 2
= 0
= 0
3884.83 − 971208 
3

L
L  
− 971208 323736000

6 ⋅E ⋅ I 4 ⋅E ⋅ I   0
0
−


L2
L 


•

Barra 2-3

[K22 ]L

0
0
 165160.25



=
0
428.88
269385.51 

0
269385.51 225607568.2
[K23 ]L

0
0
 − 165160.25



=
− 428.88
0
269385.51 

0
− 269385.51 112803784.1


Método de cálculo

[K 32 ]L

0
0

 − 165160.25


=
− 428.88 − 269385.51 
0

0
269385.51 112803784.1


[K33 ] L

0
0

 165160.25


=
− 269385.51 
0
428.88

0
− 269385.51 225607568.2


•

Barra 3-4

[K33 ] L

0
0

 165160.25


=
0
428.88
269385.51 

0
269385.51 225607568.2
[K34 ]L

0
0

 − 165160.25


=
− 428.88
0
269385.51 

0
− 269385.51 112803784.1


[K 43 ] L

0
0

 − 165160.25


=
− 428.88 − 269385.51 
0

0
269385.51 112803784.1


[K 44 ]L

0
0

 165160.25


=
− 269385.51 
0
428.88

0
− 269385.51 225607568.2


•

Barra 4-5

[K 44 ]L

0
0
 550200



= 0
3884.83 971208 
 0
971208 323736000


[K45 ] L

0
0
 − 550200



=
−3884.83 971208 
0

0
− 971208 161868000


25

Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas

26

[K54 ]L

0
0

 − 550200


=
− 3884.83 − 971208 
0

0
971208 161868000


[K55 ] L

0
0

 550200


= 0
3884.83 − 971208 
 0
− 971208 323736000


3.8.3. Matrices de rigidez de las barras en coordenadas globales.
•

Barra 1-2

La matriz de rotación [R] es:
 cos α − senα0   0 − 1 0

 

[R] =  senα cos α 0  =  1 0 0
 0
0
1  0 0 1

Para obtener cualquier submatriz [Kij] en coordenadas globales será necesario
realizar la siguiente operación:

[K ] = [R] ⋅ [K ] ⋅ [R]

T

ij G

ij L

Las submatrices obtenidas son:

[K11 ]G

− 971208 
0
 3884.83


=
0
550200
0

 − 971208
0
323736000


[K12 ]G

− 971208 
0
 − 3884.83


=
− 550200
0
0
 971208
0
161868000


[K21 ]G

0
971208 
 − 3884.83


=
− 550200
0
0

 − 971208
0
161868000


Método de cálculo

[K22 ]G
•

27

0
971208 
 3884.83


=
0
550200
0

 971208
0
323736000


Barra 2-3

La matriz de rotación [R] es:
 cos α − senα 0  0.99503719 − 0.099503719 0 

 

[R] =  senα cos α 0 =  0.099503719 0.99503719 0 
 0
0
1 
0
0
1

Las...