ejercicios Calculo

1. Mediante la definici´n, encuentre la derivada de las siguientes funciones en los
o
puntos que se indican:
(a) f (x) = 3x2 + 2x + 1 en x = 1 .
3
√
(b) g(x) = 2x − 1 en x = 5.
(c) h(x) = tan x en x = π .
3
2. Mediante la definici´n, derive las siguientes funciones:
o
(a) f (x) = x4
√
(b) g(x) = x
(c) h(x) =

1
x

4
3. Pruebe que la funci´n f (x) = |4x + 3| no es derivable en x= − 3 .
o

4. Calcule la derivada de f (x) = |x2 − 1| − 2|x − 1| en todos los puntos en que
ella existe, y determine aquellos puntos en los que no(en caso de haberlos).
5. Sea f una funci´n derivable en el intervalo abierto J con 1, 0 ∈ J e invertible
o
en J con inversa g. Suponga que f (0) = 1, f (0) = 1, f (1) = 2. Calcule la
derivada de h(x) = g(x2 ) en x = 1.
6. Considere una funci´nderivable en x = a con f (a) = 5. Calcule
o
f (a − 2h) − f (a)
.
h→0
h
lim

1
7. Si f (10) = − 1 , g(10) = 6, f (10) = 3 , g (10) = 8. Encontrar
2

(a) (5f + g) (10).
(b) (6f g − 9g) (10).
(c)

f
g

(d)

1 g
−
g f

(10).
(10).

8. Determine los valores de a y b de modo que la funcion f (x) dada por
f (x) =

1
|x|

a + bx

sea derivable en R.
1

2

si |x| >1
si |x| ≤ 1

9. Determine los valores de a y b de modo que la funcion f (x) dada por
f (x) =

sen x si x < π
ax + b si x ≥ π

sea derivable en x = π.
10. Estudie la continuidad y derivabilidad de la funci´n:
o
f (x) =

1
xn sen( x ) si x = 0
0
si x = 0

donde n ∈ N.
11. Demuestre que si f (x) es impar entonces f (x) es par, y que si f (x) es par
entonces f (x) es impar.
12.Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
(a) cos(5x)
(b) (1 + 2x + x3 )8
(c)

3

1 + tan(1 +

√

x)

(d) sin2 (7x − tan(cos x))
(e)

√ 1
16−x2

(f) (sen(x2 ) + cos(5x3 ))5
√
(g) x + x3 x − cos x
13. Si f (x) = 3x sen(2x), calcular f (x).
14. Si f (x) = senx + sen x cos x, calcular f (x).
15. Calcule la derivada de f (x) usando la Regla de la Cadena. Simplifique.1−x
.
1+x
x
(b) f (x) = √
.
1 − x2
x
.
(c) f (x) = sen
x−1
(a) f (x) =

2

(d) f (x) =
(e)

x+

(f) f (x) =
(g)

sen x − x cos x
.
cosx + x sen x
x+
5

x+

√
x.

x2 + 1
.
x3 + 4

sen(x3 − 1) + x.

(h) arcsin(x + tanx).
(i) f (x) =

1 − (arcsin x)2 .

16. Si y = sen(sen x), demostrar que
dy
d2 y
+ tan(x) + y cos2 x = 0.
2
dx
dx
17. Si x = A coswt + B sen wt +

E
t sen(wt),
2wt

demostrar que

d2 x
+ w2 x = E cos(wt).
dt2
18. Sean f (x) y g(x) funciones derivables en R+ tales que g (x) = arctan(x) y
1
f (x) = x . Si
1
h(x) = f (1 + x2 ) − xg (x),
2
demuestre que (g + h) ≡ 0.
19. Sea f una funcion diferenciable en R tal que
x2 f (x) +

f (x)3
= 9.
3

Determine f (x).
√
20. Dada la funci´n f (x) = x 1 − x2 +arcsin(x).
o
(a) Calcule f (x).
f (x)
(b) Determine k ∈ R tal que √
= k.
1 − x2

3

Soluciones:
1. (a) R. 4.
(b)
g (5) =
=
=
=
=
=

g(x) − g(5)
x→5
√ x−5
2x − 1 − 3
lim
x→5
x −√
5
√
2x − 1 − 3 2x − 1 + 3
√
lim
x→5
x−5
2x − 1 + 3
2(x − 5)
√
lim
x→5 (x − 5)( 2x − 1 + 3)
2
lim √
x→5
2x − 1 + 3
1
.
3

(c) Recordemos que tan(a − b) =
π
h( )=
3
=
=
=
=Recuerde que lim
π
x→ 3

lim

tan a−tan b
.
1+tan a tan b

Luego,

h(x) − h( π )
3
x→ 3
x− π
3
tan x − tan π
3
lim
x→ π
x− π
3
3
tan(x − π )(1 + (tan x)(tan π ))
3
3
lim
x→ π
x− π
3
3
π
sen(x − 3 )(1 + (tan x)(tan π ))
3
lim
x→ π
(x − π ) cos(x − π )
3
3
3
sen(x − π )
(1 + (tan x)(tan π ))
3
3
lim
lim
x→ π
x→ π
x− π
cos(x − π )
3
3
3
3
limπ

sen(x − π )
3
= 1, por lo tanto
x− π
3

(1 + (tan x)(tan π ))
π
3
h ( ) = lim
= 4.
x→ π
3
cos(x − π )
3
3
4

2. (a) R.: 4x3 .
(b) R.:

1
√ .
2 x

1
(c) R.: − x2 .

3. Indicaci´n: Recuerde que la definicion de derivada en un punto es un limite,
o
por lo tanto para que exista este limite los l´
ımites laterales deben ser iguales,
es decir,
4
f (x) − f (− 3 )...