Ejercicios de econometria 2

LICENCIATURA EN ECONOMÍA ECONOMETRÍA 2 MATERIAL DE APOYO

Prof. Carlos Sánchez González

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MODELOS DE ECUACIONES SIMULTANEAS Hasta ahora nos habíamos centrado en la estimación y explotación de los modelos de regresión que incorporan una única ecuación:
yi = xi′ β + ε i i = 1,..., N

Un modelo de ecuaciones simultáneas determina los valores de un conjunto de variables, endógenas, enfunción de otro conjunto de variables llamadas predeterminadas. La forma estructural correspondiente a un modelo de ecuaciones simultáneas puede escribirse como:
yi Γ + xi Β = ε i ; i = 1, 2,..., N

donde yi es un vector correspondiente a la observación i-ésima de g variables endógenas, será por tanto un vector de dimensiones 1× g y xi el vector 1× k de los valores de k variables predeterminadascorrespondientes también a la observación i-ésima, ε i es un vector 1× g correspondiente a los g términos de perturbación, uno para cada una de las ecuaciones de que consta el modelo Nuestro objetivo será estimar los coeficientes de las matrices Γ, Β a partir de una muestra de N observaciones. La matriz Γ será cuadrada y no singular, y Β será por lo general no cuadrada. La forma estructuralcontiene g ecuaciones que conjuntamente determinan los valores de g variables endógenas dados los valores de k variables predeterminadas y g valores de los términos de perturbación y los g 2 + gk coeficientes del sistema. Si escribimos el modelo en notación extendida tenemos:

(yi1 , yi 2 ,..., yig )

γ 11 γ 12 γ  21 γ 22  .   .  .  γ g1 γ g 2 

. .

γ 1g  . γ 2g  
.

.

.

β 11 β  21   .  + ( xi1 , xi 2 ,..., xik )   .   .   γ gg   β k1  

. .

. .

. .

β 1g  β 2g  

.

.

.

  = ε i1 , ε i 2 ,..., ε ig    β kg  

(

)

En particular, si despejamos el valor de la variable endógena h-ésima, podemos escribir en forma reducida:
g γ  k β  yih = − ∑ yij  jh  − ∑ xil  lh  + ε ih ; h = 1, 2,.., g ; i = 1, 2,..., N j≠h  γ hh  l =1  γ hh 

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Generalmente se normalizan los valores de los coeficientes de la matriz Γ , para ello se dividen los elementos de cada columna de esta matriz por el valor correspondiente de la diagonal principal. A efectos de simplificar la notación se suelen considerar ya normalizados los valores de matriz, es decir, γ ii = −1 ; i = 1, 2,..., g y el modelo en su forma reducidaquedaría finalmente:
 −1 γ 12 γ  21 −1  . ( yi1 , yi 2 ,..., yig )  .   .  γ g 1 γ g 2 

. .

. .

γ 1g  γ 2g  

.

.

 β11 β  21   .  + ( xi1 , xi 2 ,..., xik )    .   .   −1   β k1  

. .

. .

. .

β1g  β2 g  

.

.

.

  = ( ε i1 , ε i 2 ,..., ε ig )    β kg  

En el modelo de regresión lineal se imponían sobre los términosde perturbación los supuestos de esperanza nula, homocedasticidad y ausencia de autocorrelación:
E ( ε i ) = 0 ∀i = 1, 2,..., N σ 2 i = j E ( ε iε j ) =  ∀i, j = 1,..., N 0 i ≠ j

En el modelo de ecuaciones simultáneas, de manera análoga imponemos los supuestos:
E ( ε i ) = 01× g = (0, 0,..., 0)1× g   σ 11 ⋯ σ 1g     ⋱ , si i = j Σ =      σ gg  g× g   E (ε i ' ε j ) =  ∀i, j= 1,..., N 0 ⋯ 0  0 =  ⋱  si i ≠ j      0  g× g   

Donde ahora la matriz Σ de dimensiones g × g vamos a suponerla simétrica y definida positiva, siendo el equivalente en términos vectoriales al escalar correspondiente a σ 2 . Como podemos ver, los vectores de términos de perturbación no están correlacionados para distintos instantes de tiempo, pero si entre ellos mismos para unmismo instante de tiempo o una misma observación. Como hemos señalado, tras el proceso de normalización, la forma reducida ha quedado:

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 γ 11   γ 11  γ 21 Γ =  γ 11   ⋮  γ g1   γ 11

γ 12 γ 22 γ 22 γ 22 γ g2 γ 22
⋮

⋯

γ 1g   γ gg 

′ ′  1 γ 12 ⋯ γ 1g   γ ′ ′ 1 γ 2g  ⋮   21  =   ⋱ ⋮  ⋮    g γ gg  γ ′ 1 γ ′ 2 ⋯ 1   g   γ gg  . . . . . . . . . ....