Ejercicios De Optimizacic3b3n Mc3a1ximos Y Mc3adnimos

Ejercicios de optimización máximos y mínimos
Ejercicios resueltos; Sigue el siguiente procedimiento:
a).-Si las funciones de ingresos y costos de una compañía están dadas por I(q)=35q-½q2 y C=7q+20, donde q son las unidades, en miles, producidas y vendidas. 1.-¿Cuántas unidades de producto deben venderse para tener unaganancia máxima?,
2.-¿Cuál es la máxima ganancia obtenida
3.- ¿Cuál es el costo de producción.
Tenemos I(q)=35q-½q2 y si derivamos la función tenemos: I′(q)=35-2/2q2-1, I′(q)=35-q, Si 35-q=0, entonces q=35 por lo tanto el número crítico es: q=35
Sustituyendo q=35 en la función original I(q)=35q-½q2 tenemos:
Si q=35 entonces I(35) = 35(35)- ½(35)2=612.5
C(q)=7q+20= C(35)=7(35)+20=265.
b).- Unaempresa calcula que el costo de producir x unidades de cierto artículo en una semana está dado por C(x)= x3-3x2-80x +500. Cada unidad producida se vende a un precio de $2,800.00.¿Cuántas piezas deben ser producidas por semana para que la ganancia sea máxima?, ¿Cuál es la máxima posible de una semana si la función de ingreso que se obtiene por vender es I(x)=2,800x, las piezas producidas paraobtener una ganancia máxima se obtiene cuando C′(x)=I′(x), y la máxima ganancia se obtiene cuando G(x)=C (x)-I (x).
C(x)= x3-3x2-80x +500, C(x)′= 3x2-6x-80 y para el ingreso tenemos que: I(x)=2,800x, I(x)′=2,800.

Para obtener piezas producidas para obtener la ganancia máxima sabemos que: C′(x)=I′(x)
Por lo tantola ecuación queda de la siguiente manera: 3x2-6x-80 =2800, igualamos a cero la ecuación 3x2-6x-80 -2800=0 y nos queda 3x2-6x -2880=0 dividiendo entre 3 tenemos; x2-2x-960=0, factorizando tenemos: (x-32)(x+30)=0
Si (x-32)=0 entonces x=32
Si (x+30)=0 entonces x=-30
Comparamos los dos valores y el valor positivo de 32, indicael número de piezas producidas por semana para obtener una ganancia máxima
Para obtener piezas producidas para obtener la ganancia máxima tenemos que sustituir x=32en la ecuación: G(x)=I (x)-C(x).por lo tanto
G(x)=- x3+3x2+2880x -500, sustituyendo 32 tenemos: G(32)= (32)3+3(32)2+2880(32)-500=$61,964.

c).-Se va a diseñar una lata cilíndrica de 375ml de capacidad. ¿Cuáles son las dimensionesque minimizan el costo del material para su fabricación?.
figura 1. figura 2.







De la figura 1 obtenemos el volumen V(r)= Ab.h=πr2h
Y de la figura 2 obtenemos el área total AT o sea el área del rectángulo y de los círculos siendo esta.
AT(r)=AR+AC; AT(r) =2πrh + 2πr2
Como en la fórmula del área totaltenemos dos incógnitas “r” y “h” de la formula obtenida del volumen en la figura 1, sustituimos el valor de 375ml quedando de la siguiente manera 375= πr2h y despejando la altura obtenemos lo siguiente, h=375/πr2, posteriormente sustituimos el valor de h en AT(r), quedando. AT(r)=750/r+2πr2
De esta manera nos queda una incógnita en la ecuación.
Derivamos la ecuación y la igualamos a cero.A’(r)= -750/r2+4πr; -750/r2+4πr=0 , despejando r tenemos r=3.90 cm
h=375/πr2, sustituyendo r en h tenemos h=7.82 cm
d).- A partir de una hoja de papel de 16 cm por 21cm, se desea hacer una caja cortando cuadrados de longitud x en las esquinas y doblando los lados hacia arriba, como se muestra en la figura.
a).- Determinar las dimensiones de la caja.
b).- Determinar el volumen máximo.x x
x x


x x
x x

V=AH
A=b.h=(16-2X)(21-2X)=336-32X-42X+4X2=336-74X+4X2
H=x
V(x)=(336-74X+4X2)(X), V(X)= 336X-74X2+4X3.
V(X)=2(168X-37X2+2X3),...