Ejercicios números complejos

Ejercicios Resueltos
Tema 1. Conjunto de los Números Complejos
⎛ 9π
⎞
+ i ln 2 ⎟
4
⎠

⎝
1.- Hallar el argumento del número complejo A = (1 + i )⎜

que tenga como

módulo la unidad.Solución
Hallamos logaritmo neperiano de A
⎛ 9π
+ i ln
⎡
⎝
ln A = ln ⎢(1 + i )⎜ 4
⎣

⎞
2⎟
⎠

⎤ ⎛ 9π
⎞
⎥ = ⎜ 4 + i ln 2 ⎟ ln (1 + i )
⎠
⎦ ⎝

Sabiendo que ln z = ln z + ( arg( z ) + 2kπ )i;

z = a 2 + b2 ;

arg( z ) = θ = arctg

⎛π
⎞
Hallando ln (1 + i ) = ln 2 + i ⎜ + 2kπ ⎟ queda,
⎝4
⎠

b
a

⎛ 9π
⎞⎛
⎛π
⎞⎞
ln A = ⎜
+ i ln 2 ⎟ ⎜ ln 2 + i ⎜ + 2kπ ⎟ ⎟
⎝ 4
⎠⎝
⎝4⎠⎠

(

)

Multiplicando ambos números complejos,
2⎞
⎛ 9π
⎞ ⎛ 9π ⎛ π
⎛π
⎞
⎞
ln A = ⎜
ln 2 − ⎜ + 2kπ ⎟ ln 2 ⎟ + i ⎜
⎜ + 2kπ ⎟ + ln 2 ⎟
⎝4
⎠
⎠
⎝ 4
⎠ ⎝ 4 ⎝4
⎠

(

)

Como ln A = ln A+ (θ + 2kπ ) i , y |A| = 1, entonces
ln A = ln(1) + (θ + 2kπ ) i = 0 + (θ + 2kπ ) i

por tanto la parte real de ln A es 0 y despejamos k,
9π
9π
π
8π
⎛π
⎞
ln 2 − ⎜ + 2kπ ⎟ ln 2 =
ln 2 − ln2 − 2kπ ln 2 =
ln 2 − 2kπ ln 2 = 0
4
4
4
4
⎝4
⎠
8π
ln 2 = 2kπ ln 2 ⇒ k = 1
4
Sustituyendo k = 1 tendremos el argumento,
9π
4

⎛π
⎞
⎜ + 2(1)π ⎟ + ln 2
⎝4
⎠

(

)

2

=

(81 2
π + ln 2
16

)

2

2.- Sean los números complejos z1 = a + bi z2 = −1 + ci . Hallar el valor de los números
z
reales a, b, c para que z1 + z2 = 1 + 6i y 1 sea imaginario puro.
z2Solución
Sustituyendo,
⎧a − 1 = 1 ⇒ a = 2
z1 + z2 = ( a + bi ) + ( −1 + ci ) = ( a − 1) + i ( b + c ) = 1 + 6i ⇒ ⎨
⎩b + c = 6 (I)
z1 2 + bi ⎛ 2 + bi ⎞ ⎛ −1 − ci ⎞ ⎛ −2 + bc ⎞ ⎛ −2c − b ⎞
=
=⎜⎟·⎜
⎟=⎜
⎟+⎜
⎟ i ⇒ {−2 + bc = 0 ⇒ bc = 2 (II)
z2 −1 + ci ⎝ −1 + ci ⎠ ⎝ −1 − ci ⎠ ⎝ 1 + c 2 ⎠ ⎝ 1 + c 2 ⎠

Con (I) y (II) resolvemos un sistema de ecuaciones no lineales
⎧b + c = 6 ⇒ b = 6 − c
⎪
⎨2
⎪bc = 2 ⇒ ( 6 − c ) c = 2 ⇒ c − 6c + 2 = 0
⎩
⎧b = 6 − 3 − 7 = 3 − 7
⎪
a = 2; c = 3 ± 7 ⇒ ⎨
⎪b = 6 − 3 + 7 = 3 + 7
⎩
3.- Dados los números complejos z1 = 3eln 2+π i y z2 =

(...